半球体雪堆融化时间-数学建模

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1、半球体雪堆融化时间系别：土木建筑工程学院专业：土木（1）班姓名：学号：201140610161一、摘要：一个半球体状的雪堆，在阳光下慢慢融化，过程中雪堆始终保持着半球体状，利用微分知识来解决雪堆融化的时间问题，并展开假设，当雪堆融化时保持锥形等其它形状，再次求解。关键词半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分二、提出问题：一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部

2、融化需要多少小时？三、问题分析：在融化过程，根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0”的条件，我们可以列得方程，显然这里为常微分方程。即可得到基本思路就是：先找到与的关系，将替换的代数式，再利用已知条件“半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，则，”解出的具体表达式，而雪堆全部融化所用的时间，为满足的值，解出n即为所求。四、建模过程1、模型假设：在融化过程中雪堆始终保持着半球体状；外界因素基本保持不变，即不影响计算结果。2、符号说明：小时，>0——

3、时刻半球状球体表面面积——时刻半球状球体体积——时刻半球状球体半径——常数3、模型的建立：（1）.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0.即。（2）.雪堆始终保持着半球体状，则有，。（3）.半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，则，。（4）.雪堆全部融化所用的时间，为满足的值。4、模型的求解：因为有解出关系:(其中令)由得：求解常微分方程：（方程左右两边求积）解出：······················因为又有代入：解出常数：常数代入得：···

4、···················因为又有，代入解出值：代回解得：················最后将代入则：所以（小时）答：雪堆全部融化需要6小时.参考文献:《大学数学实验》清华出版社姜启源邢文训谢金星杨顶辉编著总结：雪堆融化过程中，无论是保持半球型或圆锥等其它形状，根据计算，所用的融化时间都一样。所以，在日常生活中，在细心观察问题的同时，还要经过运算才能得到真理。怎样写作数学建模竞赛论文一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模

5、的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：1.形成问题要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。2.假设和简化根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结

6、为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化3.模型的构建根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。4.检验和评价数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂

7、性等。而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。5.模型的改进模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是

8、否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。针对发现的问题作出相应的修正。然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。6.模型的求解经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具