初中数学竞赛精品标准教程附练习04：零的特性

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（4）零的特性一、内容提要1.零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1，零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。2，零是判定正、负数的界限。若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作　a＞0a是正数　　读作a＞0等价于a是正数　　　　b<0b是负数　　　　c≥0c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）　　　　d0d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)　　　　e0e

2、不是0　（即e不是0，而是负数或正数）3，在一切非负数中有一个最小值是0。例如　绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。记作：

3、a

4、≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。4，在一切非正数中有一个最大值是0。例如　－

5、X

6、≤0，当X＝0时，－

7、X

8、值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），　　－（X－2）20，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。2，零具有独特的运算性质1，乘方：零的正整数次幂都是零。2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒

9、数，分数的分母不能是0。3，乘法：零乘以任何数都得零。　即a×0＝0，反过来　如果　ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4，加法　互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。　　　即a、b互为相反数a+b=05，减法　两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b;　　若a-b＞0,则a＞b;　　若a-b＜0,则a＜b。反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a

10、不同的精确度。例如　近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数1.6<1.65　　　1.595≤近似数1.60<16053二、例题例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－

11、3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。例3．要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？　　①X（Y－1）＝0，　　②　｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数；当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。　　　②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）2≥0，∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0，故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）2　＝0成立。三、练习1，有理数a和b的大小如数轴所示:b0a比较

12、下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）2a0,　　－3b0,　　　0,　　　－　0，　　－a20,　－b30,　　　　　a+b0,　　a－b0,　ab0,　(－2b)30,　　0,　　　02,a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。　｜a

13、>a,　a2>－a2,　a>－a,　a+1>a3,x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。　①（x－2）2有最小值0，　　③　－｜x+3

14、有最大值0，②2－x2有最大值2，　　　④　3＋｜x－1｜有最小3。4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积

15、等于多少？为什么？1，要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？①＝0，　②X（X－3）＝0，　③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝02，下列说法正确吗？为什么？①　a的倒数是　　　②方程（a－1）X＝3的解是X＝③n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数④如果a>b,那么m2a>m2b(a、b、m都是有理数)3，X取什么值时，下列代数式的值是正数？①　X（X－1）　　②　X（X＋1）（X＋2）练习参考答案：2.　只一个　　3.　4　　　4.无数多个，0　　5.      ①x≠0，②　0或3　③.　X=0且y＝5　（注意或与

16、且的区别）6.      都不正确，0没有倒数7.      　①x>1或x<0②　-20袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅