“点差法”在圆锥曲线之中点弦的应用-学生

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1、“点差法”在圆锥曲线之中点弦的应用直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

2、下面就如何用点差法计算举几个例子供参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。4例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。三．求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截

3、得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。例7、已知抛物线C:和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。4上面给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些解法。下面看一个结论引理设A、B是二次曲线C：上的两点，P为弦AB的中点，则。设A、B则……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（说明：当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）推论1设圆的弦AB的中点为P（

4、，则。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）推论2设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）推论3设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）推论4设抛物线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为五、注意的问题4利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养解题能力和解题兴趣。但不能

5、忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。六．强化训练题1求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程。2过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。3过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。4求直线被抛物线截得线段的中点坐标。4