点差法-解决圆锥曲线的中点弦问题.pdf

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1、万方数据实践讲堂‘‘点羞法’’麓决圆锥曲线的中点弦问题韩晓刚(唐山十六中，河北唐山063103)摘要：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题．常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程．得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子(也称中点和斜率结合公式)．再结合已知条件．运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时。一般都可以用点差法来解。与韦达定理法纷繁冗长的计算相比．点差法可以大大减少运算量．优化解题过程．达到“设而不求”的目的。本文将从求弦

2、的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程四个方面举例说明．欢迎大家批评指证。关键词：点差法；中点弦一、弦的斜率与弦的中点问题例1：已知椭圆粤+莩=1，求以P(1，1)为中点的弦所lOq在直线的方程。解：设弦的两端点为AXI,y-)曰(石z，y2)，则{：；：猩：：，两式相减(Xl帆2)(戈1叫2)+4(，，l吖2)(YJ—y2)=0，又Xl+x2=2yl呵2-2等式两边同除X,1嘣：可得_i}=()，。-y2)／(z。叫：)=}，则所求方4程为。4y慨一5=0。变式l：给定双曲线zz一年=1，过点日(1，1)能否作直线4m，使m与所给的双曲线相交于p。

3、、p：两点，且曰是线段p．0，的中点。这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。分析：点差法解出y=2x一1。但是将代人双曲线方程得一元二次方程缸z砘+3=0，此方程无实根，故满足题设的直线不存在。这种题型只要给出曲线方程，和一个定点坐标，利用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。但是。如果忽视对判别式的考察．将得出错误的结果．所以解题时一定要注意点差法的不等价性．即要考虑判别式大于零。同时由此题可看到中点弦问题中判断点M的位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内。则被点M平分的弦一般存在；(2)若中点肘在圆锥曲线外．则被点M平分的弦可能不存在。变式2：已知直

4、线Z与椭圆C：戈z+4f=16交于P1、P2两点，线段P．P2的中点是P，设直线的斜率为k(k≠O)，OP的斜率为k’．求证：触’是一个定值。分析：有线段中点和直线的斜率，可直接用点差法求解。变式3：已知△ABC的三个顶点都在抛物线f=3氖，且AABC的重心G是抛物线的焦点．求直线BC。分析：在三角形中，如果知道三角形的重心及其中一个定点，可知其他两点的中点坐标．而其他两点又在曲线上．即可认为是直线与圆锥曲线相交所构成的弦的中点．那么就可以用点差法来计算了．解：由已知抛物线方程得G(8，0)，设BC中点为M，则A，G，M三点共线，且AG：2GM，则G分币矿所成比为2，代入定比分点

5、坐标公式解得M(11，一4)，设B(x．，Y．)C(X2,Y：)，则Yl竹F一8。又Ylz=_32x．(1)，y2Z=-32x2(2)相减，经计算可得

6、

7、}=一4。所以BC所在直线方程为y+4=一4(石一11)．即乱+y-40=0。规律与结论：(1)对于椭圆等+等=l，若斜率为k的直旷6‘线交椭圆与AB两点设A(省。，Y。)B(x：，Y：)，弦AB的中点为M132面而(x中，Y中)，利用点差法可得

8、

9、}=一之1，．Ⅱ了中(2)对于双曲线等一等=1，若斜率为k的直线交椭圆与旷0。AB两点，弦AB的中点为M(x中，Y中)，利用点差法可得．

10、}=一垡盟卉巾(3)对于抛物线／=2px，若

11、斜率为k的直线交椭圆与AB两点，弦AB的中点为M(x中，Y中)，利用点差法可得后=卫。熟知以上三个结论．有关弦中点及直线斜率的选择与填空便可迎刃而解了。二、求弦中点的轨迹方程例2：已知椭圆婺+俸l，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。。(平行弦中点轨迹方程)解：设弦的两个端点分别为P(x。，Y。)，Q(x：，Y2)，尸Q的中点为M(x，y)。则竿吖。2=1(1)；竿+y22=-1(2)相减可得：一(9‘1--X2)(XI+X2)'l'(yl-Y2)(Yl+y2)-0又石l慨2=2x，Yl+y2=2y，k=2，则x+4y=0。·．·弦中点轨迹在已知椭圆内，．·．所求弦中点的轨迹方程为

12、(在已知椭圆内)。变式1：直线Z：似一y一(a+5)=0(o是参数)与抛物线Y=(x+1)z的相交弦是AB．则弦AB的中点轨迹方程是。过定点弦的中点轨迹方程)分析：直线Z：似一'，一(叶5)=0，方程中带有参数o，即直线是过定点的直线。还要注意弦中点轨迹在已知抛物线内．最后要注明所求弦中点的轨迹方程为y=2x2—7(在已知抛物线内)。变式2：已知定长为口(口≥1)的线段A曰的两端点在抛物线y=X2上移动，求动弦A曰的中点Ⅳ的轨迹方程。(弦长为定值的弦的中点轨迹方程)解：设两端点坐