《标准差的意义》word版

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1、标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断

2、时，可以利用全距这个统计量。为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（），称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（）=0，因而不能用离均差之和Σ（）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n求得平均绝对离差，即Σ

3、

4、/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使

5、用很不方便，在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即()2，再求离均差平方和，即Σ，简称平方和，记为SS；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即Σ，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量Σ表示资料的变异程度。统计量Σ称为均方（meansquare缩写为MS）,又称样本方差，记为S2

6、，即S2=（3—9）相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为：σ2μ）2/N（3—10）由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：（3-11）由于所以（3-11）式可改写为：（3-12）相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：σ=（3-13）在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差σ。简单来说，

7、标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。　如是总体，标准差公式根号内除以n；如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)　　因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)二、标准差的计算方法（一）直接法对于未分组或小样本资料，可直接利用（3—11）或（3-12）式来计算标准差。【例3.9】计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。此例n=

8、10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得：(g)即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g。（二）加权法对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为：（3—14）式中，f为各组次数；x为各组的组中值；Σf=n为总次数。【例3.10】利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。将表3-4中的Σf、Σfx、Σfx2代入（3—14）式得：（g）即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g。表3—4某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布

9、及标准差计算表组别组中值（x）次数（f）fxfx244.15—45.03135.06075.045.85—46.76280.213085.3447.55—48.416774.437480.9649.25—50.1221102.255220.2250.95—51.8301554.080497.2052.65—53.5442354.0125939.0054.35—55.2281545.085317.1256.05—56.9301707.097128.3057.75—58.612703.241207.5259.45—60.35301.51

10、8180.4561.15—62.04248.015376.00合计Σf=200Σfx=10705.1Σfx2=575507.11三、标准差的特性（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小