从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)

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1、从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)许季龙3月20日中学数学里的方程、不等式与函数间的联系是双向的：一方面函数的整体性认识要得到议程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看，这后一方面的联系，显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸，举例谈谈关于某些方程、不等式的解，可以从六个方面考虑。一从函数定义域考虑例1解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1解设f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(

2、1-x)1/2,则f(x)的定义域取决于下面不等式组的解：二从函数值域考虑例2解方程(x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2=4-2x2+x4.解设f(x)=(x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2g(x)=4-2x2+x4因为f(x)=[(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2≥5；g(x)=5-（x2-1）2+x4≤5。仅当x-1=x3-1=x2-1=0时,f(x)=+g(x)，从而推出原方程的解为x=1。例3解方x+1/x=sinx+31/33cosx.解令=x+1/x,g

3、(x)=sinx+31/3cosx易证:

4、f(x)

5、=

6、x+1/x

7、=

8、x

9、+1/

10、x

11、≥2;

12、g(x)

13、=

14、2sina(x+π/3

15、≤2但是当

16、f(±1)

17、=2时,但是当

18、g(±1)

19、≠2时.所以原方程没有解.三结合函数定义域、值域考虑例4解方程（3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2=2x-4解令f(x)=（3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2,g(x)=2x-4.∵f(x)≥0,∴g(x)=2x-4≥0.于是x≥2.又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)≥0;2x2-x-6=(x

20、-2)(2x+3)≥0所以,f(x)、g(x)的定义域是x≥2。在此条件下原方程又可化为：(x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解为下列方二程之解：x-2=0；（1）(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2(2)解（1）得x=2；而（2）没有解，事实上，将（2）式移项得(3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法，得到(2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/

21、2+(2x+3)1/2当x≥2时，上式左边函数值为正，右边的函数值为负。得出矛盾。经检验原方程仅有一解x=2。四结合函数性质考虑例5解方程（2x+7）1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2解设f(x)=(2x+7)1/2；g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它们共同的定义域里，f(x)严格递增，g(x)严格递减且原方程与方程f(x)=-g(x)同解.显然f(1)=g(1),并且x>/时,时,f(x)>f(1)=g(1)>g(x);x<1时,f(x)这就是说f(x)=g(x)仅有一解

22、`x=1.例6解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3.解设不等式左边为f(x),不难确定其定义域是[-1/2,0)∪(0,1/2].当02)1/2],容易看出,它的分子不超过2,分母总是不小于1的.因此,0推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1/2]五结合函数的几何意义考虑例7解方程[x+3-4(x-1)1/2]1/2+[x+8-6(x-1)1/2]1/2=1解原方x-1)程可变形为{[(1/2-2]2}1/2+{[(x-1)1/2-3]2}1/2=1令(x-1)1/2=u,则有│u-2│+错误！链接无

23、效。=1。这个不等式的几何意义是；在u轴上，点u到点2与点头的距离之和等于1。不难得到2≤u≤3,即2≤(x-1)1/2≤3从而解得5≤x≤10例8求证:妆a(x-b)(x-d)=0必有实根.证令f(x)=(x-a)(x-c)+λ(x-b)(x-d),从几何意义考虑,本题要讨论对任何实数λ,函数f(x)的图象与x轻于某一点;(2)当λ>-1时,f(x)=(1+λ)x2-[(a+c)+λ(b+d)]x-(ac+λbd),因为这时(1+λ)>0,所以f(x)代表了一个开口向上的抛物线.倘能说明函数f(x)的图象在

24、x轴下方有点,再据二次函数图象的性质:连续向上无限伸展,可知它的图象必与x轴有二交点.事实上,由f(b)=(b-a)(b-c+)λ(b-b)(b-d)<(b-c)<0可知点(b,f(b))在x轴下方:(3)λ<-1时,抛物线f(x)这时开口向下,又f(c)=λ(c-b)(c-d)>0,可知点(