学案 2．6第1课时　利用一元二次方程求解几何问题

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1、2．6　应用一元二次方程第1课时　利用一元二次方程求解几何问题【学习目标】1．使学生会用一元二次方程解应用题．2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识．3．通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性．【学习重点】运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题．【学习难点】寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．情景导入　生成问题1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则AB＝13cm.2．在△AB

2、C中，D、E分别是AB，AC的中点，若BC＝10cm，则DE＝5cm.3．用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？解：设长为xcm，则宽为(－x)cm，x·(－x)＝91，解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时，－x＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x＝13cm时，－x＝20－13＝7(cm)．∴这个矩形的长为13cm.自学互研　生成能力先阅读教材P52例1之前的两个问题，并完成下列填空：1．在第(1)问中设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据勾股定理和

3、图(2)中的数据可列方程为(8－x)2＋(6＋x)2＝102，解这个方程得x1＝0，x2＝2．由实际问题可知x＝2．2.在第(2)问中设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据勾股定理和已知数据可列方程为(12－x)2＋(5＋x)2＝132，解这个方程得x1＝0，x2＝7，由实际问题可知x＝7．典例讲解：活动内容：见课本P52页例1：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC中点．一艘军

4、舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决．在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解．解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清

5、各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系．在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：(1)要求DE的长，需要如何设未知数？(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：速度等量：V军舰＝2×V补给船；时间等量：t军舰＝t补给船

6、；三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2.弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程．学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．对应练习：1．一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？解：设较短直角边长为xcm，由题意，得：x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0.解这个方程得：x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，∴较长直角边长为x＋1＝

7、＋1＝，∴直角三角形面积＝××＝12(cm2)．图(1)2．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？图(2)解：设道路宽为x米，如图(2)利用平移知识可列方程为(32－2x)(20－x)＝570，化简得x2－36x＋35＝0，解这个方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合题意，舍去)，∴道路宽应为1米．交流展示　生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得

8、出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块　探究教材P52例1检测反馈　达成目标1．用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是(　D　)A．375cm2　B．500c