复变函数与积分变换1

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1、-习题一解答A类1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（1）；（2）；（3）；（4）解（1）所以，,，，（2）所以，，.（3）所以，，----，.（4）所以，=2．如果等式成立，试求实数x,y为何值。解由于比较等式两端的实、虚部，得或解得。3．求复数（复数）的实部、虚部和模。所以.----4．求的模。解5．若，试证：。解：然而即6．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+i；（4）；（5）；（6）解：（1）；（2）（3）；（4）；（5）=（6）----7．当时，求的最大值，其中n为正整数，a为复数。解：由于，且当时，有故为所求。

2、8．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？解：设复数，则，可知复数的模不变，辐角减少。9．如果多项式的系数均为实数，证明：。证事实上10．试求下列各式的x与y(x,y都是实数)。（1）(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i;（2）;（3）。解（1）由(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i，可得因此（2）由可得因此（3）由可得因此----；其中若b>0，取同号，若b<0，取异号。11．已知两点与（或已知三点）问下列各点位于何处？（1）（2）（其中为实数）；（3）。解令，则（1），知点z位于与连线的中点。（2），知点位于与连线上定比处。（3），由几何知识知点z位于的

3、重心处。12．求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）解（1）（2）。（3）。可知的6个值分别是，，，。（4）。可知的3个值分别是----。13．指出下列各题中点z的存在范围，并作图。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）；（9）；（10）解：（1）以点为心，半径为6的圆周（见下图（a））；（2）以点为心，半径为1的圆周及外部（见下图（b））；（3）由于知点z的范围是双曲线及内部（见下图（c））；----yx-2iiO（4），故知点z的范围是直线y=3（见下图（d））；iOyxy3ixO(d)(b)(a)(c)yxO-11（5）知点z的范围是

4、实轴（见下图（e））；（6），即点z的范围是以（-3,0）和（-1,0）为焦点，长半轴为2，短半轴为的一椭圆（见下图（f））；（7），即点z的范围是以原点为心，为半径的圆的外部（见下图（g））；（8）即点z的范围是直线以及为边界的左半平面（见下图（h））；（9）两条以原点为出发点的射线为边界所夹区域，不含边界（见下图（i））；（10）是以i为起点的射线（见下图（j））；(e)yz-iiy5/2xxyx-2x----(g)(j)y=x+1iyOy1/3O(f)xyπ/3-π/3OxO(i)(h)14．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连

5、的还是多连的。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。解（1）xyO不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。----（2）xy5O1圆的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。（3）yOAxA由直线x=0与x=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。（4）yi2i3iOx以3i为中心，1与2分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、开的多连通区域。yxDO-1（5）----直线x=-1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。（6）xyπargz=1由射线及构成的角

6、形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域。（7）OxD8/15-17/15y中心在点，半径为的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内），是无界的、开的多连通区域。x3/21/2yD（8）----是以点为中心，与分别为内、外半径的圆环所围的区域，包括边界在内，是有界的、闭的多连通区域。（9）x1/2-iiy2=1-2xDy是以抛物线为边界的左方区域（不含边界），是无界的、开的单连通区域。xyiD-6（10）是圆及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。15．证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，C是实常数）证设直角坐标系的平面方程为将代入，得

7、令，则，上式即为。16．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。（1）；（2）；（3）；（4），解（1）。即直线。----（2），即为椭圆；（3），即为双曲线；（4），即为双曲线中位于第一象限中的一支。17．试求（1）；（2）。解（1）（2）由于，从而。18．试证不存在。证设，则，于是显然，k取不同值时，值也不同，故极限不存在。19．试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证设，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即，有所以不存在，即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显