平方根与算术平方根概念辨析

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1、平方根与算术平方根概念辨析   平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：一、区别：  1、定义不同。       平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。       算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所

2、以－2不是4的算术平方根。  2、表示方法不同。       平方根：一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。       算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。  3、个数不同。平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。 二、联系  1、二者之间存在着从属关系。       一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。       例如，的两个平方根是，

3、其中是的算术平方根。  2、二者被开方数的取值范围相同。       只有非负数才有平方根，负数没有平方根。       只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。       一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。 三、典型例题  例1  求下列各数的平方根。       （1）121              （2）              （3）0           （4）       解：（1）因，故121的平方根是。（2）因，故的平方根是。（3）因，故0的平方根是0。（4）因，故的平方根是。评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。

4、正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。 例2  求下列各数的算术平方根。       （1）225．           （2）              （3）0.49             （4）       解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。（2）因，故的算术平方根是，即。（3）因，故0.49的算术平方根是0.7，即。（4）因，而，所以的算术平方根是5。评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。   例3  下列说法是否正确？为什么？       （1）5是25的平方根。（2）25的平方根是5。解：（1

5、）正确。因，所以5是25的平方根。（2）不正确。因都等于25，所以25的平方根是。评析：判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。 例4  下列说法正确的是（    ）       A. －5是的算术平方根B.81的平方根是C.2是－4的算术平方根D.9的算术平方根是解：选B。评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。 例5  求下列各式的值。  

6、     （1）              （2）         （3）         （4）       解：（1）（2）（3）（4）评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。 例6  下列各式正确的是（    ）A.                         B. C.                        D. 解：选D评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平方根记为，它的结果是互为相反数的两个数，所以C错误。一个正数a的算术平方根记为，它的结果是一个正

7、数，所以A、B错误。