整除性理论及其应用

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1、第一讲整除性理论及其应用一.基本概念和性质.1.整除:设a,b是两个整数,且b0,如果存在一个整数q,使等式a=bq成立,那么我们称a能被b整除或b整除a,记作b︱a,其性质有(设b0,c=0)1).若b︱a,a0,则2)若b︱a,a︱b,a0,则a=b或b=a3)若c︱b,b︱a,则c︱a4)若b︱a,则cb︱ca5)若c︱a,c︱b,则c︱ma+nb,m,nZ2.整除的基本定理:对于任意整数a,b(b0,),存在唯一的一对整数q,r,使得a=qb+r,0r＜b其中,q和r分别称为b除a的商和余数.3.最大公约数和最小公倍数:a,b的最小公倍数记为[a,b],a

2、,b的最大公约数记为(a,b),其性质有:1).设m为正整数,则(am,bm)=m(a,b)[am,bm]=m[a,b]2)设a,b是两个正整数,则(a,b)[a,b]=ab3)设a,b,c是三个正整数,则(ab,bd,ac)[a,b,c]=abc4)设正整数k是整数a,b的公倍数,则(k/a,k/b)=k/[a,b]5)设正整数c是a,b的公约数,则(a/c,b/c)=(a,b)/c6)若(a,b)=1,(ab,c)=(a,c)(b,c)7)若a1,a2,…an,是n个不全为零的整数,则(a1,a2,…an)=((a1,a2,…ak),(ak+1,ak+2,…a

3、n))4.两个定理:1)欧拉函数:设整数n2,n=,,…,是n的质因数分解式，以（n）表示小于n且与n互质的自然数的个数，则（n）=2)勒让得定理:在乘积n！中，质因数p的指数为p(n!)=二.例题选讲.1.设,求证：︱f(n)2.设p为奇质数,证明:的分子a是p的倍数3．p,q均为正整数,使得试证:1979︱p3．求同时满足下列条件的一组整数a，b1）ab（a+b）不能被7整除2）能被7整除。5.是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的质因子，即都能被某个质数的平方所整除。6．设，则7．设a,b,c为整数，且满足，试证：当（a,b.c）=1时，a

4、+b，a-c，b-c均是完全平方数。8．给定正整数a,b,c，定义函数试求：的最小正整数的值。9．求1988！中6的最高幂。10．将与105互质的所有的正整数从小到大排列，试求出这个数列的第1000项。三．练习题。1．试证：对于任意不小于2的整数n，不是整数。2．对于正整数n与k，定义：，求证：︱3．数列满足：，其中＞2是给定的质数，求满足下列两条件的a的最小值：1）若p是质数，且p≤，则能被p整除2）若p是质数，且p＞，则不能被p整除。4．若n是大于1的自然数，它有r个不同的质因数，则5．设且n︱，则n︱6．设正整数a与b，使得ab+1整除，求证：是某一个正整数

5、的平方。7．已知：n个正整数满足＜＜＜≤2n，其中任意两个的最小公倍数都大于2n，求证：＞