全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

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1、全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分

2、等类的题目．典型例题精讲【例1】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数．【解析】法一：如图所示，延长至使，连接、．由知，而，则为等边三角形．注意到，，，故.从而有，，故.所以，.法二：在上取点，使得，则由题意可知.在和中，，，，则，从而，进而有，，.注意到，则：，故.【答案】见解析．【例1】已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．【解析】，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，利用证得≌，∴，∴．【答案】见解析．【例2】如图，已知在△ABC内，，，P、Q分别在BC

3、、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：．【解析】延长AB至D，使，连DP．在等腰△BPD中，可得，从而，△ADP≌△ACP（ASA），故又，故，．从而．【答案】见解析．【例1】如图，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC，求证：．【解析】延长BA至F，使，连FD△BDF≌△BDC（SAS），故，又，故在等腰△BFD中，故有【答案】见解析．【例1】点，在等边三角形的边上运动，，，，求证：．【解析】延长至，使得∵是等腰三角形，且，∴∵是等边三角形．∴∴在和中，，，∴.∴,.又∵，∴.在与中，，，∴∴【答

4、案】见解析．【例2】如图在△ABC中，，，P为AD上任意一点，求证：．【解析】延长AC至F，使，连PD△ABP≌△AFP（SAS）故由三角形性质知【答案】见解析．【例1】如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．【解析】在BC上截取，连接EF∵BE平分∠ABC，∴又∵，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴．∵AB//CD，∴∵，∴又∵，CE平分∠BCD，∴△DCE≌△FCE（AAS），∴∴【答案】见解析．【例1】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样

5、的数量关系？【解析】猜测.在上截取，∴，∴∴，∴，∴，∴．【答案】见解析．【例2】已知：如图，是正方形，，求证：．【解析】延长至，使得，连接.∵，，，∴∴，∵∴∴，【答案】见解析．【例3】如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且．求证：．【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用

6、(1)法来证明．【答案】延长到，使，则由正方形性质知下面我们利用全等三角形来证明．为此，连接交边于．由于对顶角，所以，从而，于是，所以，是的平分线【例1】五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．【解析】延长DE至F，使得，连接AC.∵，，∴∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，∵，∴∴△ADC≌△ADF，∴即AD平分∠CDE.【答案】见解析．【例1】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．（1）若点为锐角的费马点，且，，则的值为_____；（2）如图，在锐角外侧作等边，连结．求证：过的费马点，且．【解析】（1）（2）证明：

7、在上取点，使，连结，再在上截取，连结．∵，∴，∴为正三角形，∴，，，∵为正三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴为的费马点，∴过的费马点，且．【答案】见解析．课后复习【作业1】已知，AD平分∠BAC，，求证：．【解析】延长AB至点E，使，连接DE∵AD平分∠BAC，∴∵，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴∵，∴∵，∴，∴∵，∴，∴．【答案】见解析．【作业2】如图，△ABC中，，AD平分∠BAC，且，求证：CD⊥AC．【解析】在AB上取中点F，连接FD．则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF⊥AB，故△ADF

8、≌△ADC（SAS），即：CD⊥AC【答案】见解析．【作业1】如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．【解析】如图所示，延长到使.在与中，因为，，，所以，故.因为，，所以.又因为，所以.在与中，，，，所以，