全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全

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1、全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系．3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系．典型例题精讲【例1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．【解析】延长到，使，连结∵，

2、，∴，∴．又∵，∴∴∴，∴．【例2】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．12/12【解析】延长到点，使，连结．在和中∴∴，∴，而∴又∵，∴，∴∴为的角平分线．【例1】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．【解析】延长到，使，连结、．易证≌，∴，又∵，的平分线分别交于、交于，∴，利用证明≌，∴，在中，，∴．【例2】如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证．12/12【解析】延长至，使，连接、、．因为，，，则．从而，．而，，故，因此，即，则，即．因为，故，则．为Rt斜边上的中线，故．由此可

3、得．【例1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．【解析】如图、延长至点，使得，联结、．由，有．又，．【例2】如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．12/12【解析】解法一：如图所示，延长到，使．容易证明，从而，而，故．注意到，，故，而公用，故，因此．解法二：如图所示，取的中点，连接．因为是的中点，是的中点，故是的中位线，从而，由可得，故，从而，．【例1】已知：ABCD是凸四边形，且．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：．【解析】

4、取AB中点H，连接EH、FH．∵，，∴EH∥BD，，∴∵，∴FH∥AC，∴∵，∴∴，∴【例2】在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．12/12【解析】过作交于∵∴又∵，，∴，∴，∴又∵∴故∴且．【例1】如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：（1）；（2）．【解析】（1）如图所示，根据题意可知且，且，所以．而、分别是直角三角形、的斜边的中点，所以，，又已知，从而．（2）由（1）可知，则由可得．而、均为等腰三角形，所以．12/12【例1】已知，如图四边形中，，、

5、分别是和的中点，、、的延长线分别交于、两点．求证：．【解析】连接，取中点，连接、．∵，，∴，，同理，，∵，∴，∴∵，∴，，∴【例2】已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明)．（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【解析】图2：，图3：证明：在图2中，取的中点，连结、∵是的中点，是的中点∴，，∴同理，，，∴∵，

6、∴，∴，∴证明图3的过程与证明图2过程相似．12/12【例1】如图所示，是内的一点，，过作于，于，为的中点，求证．【解析】如图所示，取、的中点、，连接、、、，则有且，且．因为和都是直角三角形，故，，从而，．又因为，，而，且，所以，从而，故．【例2】如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．【解析】如右下图，则取边中点，连结、．由中位线可得，且．为斜边上的中线，∴．∴，又∵，即，∴，∴，∴．12/12【例1】如图，中，，，是中点，，与交于，与交于．求证：，．【解析】连结．∵，∴∵是中点∴且∵∴∵∴在与中，，，∴∴．∴．【例2】在□ABCD中，

7、，过点D作，且，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．图1ABCDPEFNM图2ABCDPEFNM1324PNAEFCDB【解析】（1），（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).证明：如图，分别连接BE、CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC

8、，AB∥DC，，∴.12/12∵，∴，∴①∵，∴.∴．即．②又③，由①②③得△BDE≌△CDF．∴,.∵N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB，．同理可得MN∥FC，．∴．∵