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时间:2018-11-11
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1、平方根(基础)【学习目标】1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根.【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);的算术平方根记作,读作“的算术平方根”,叫做被开方数.要点诠释:当式子有意义时,一定表示一个非负数,即≥0,≥0.2.平方根的定义 如果,那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为,其中是的算术平方根.知识点二
2、、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:和2.联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:,,,.【典型例题】类型一、平方根和算术平方
3、根的概念71、下列说法错误的是( )A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是-4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为=5,所以本说法正确;B.因为±=±1,所以l是l的一个平方根说法正确;C.因为±=±=±4,所以本说法错误;D.因为=0,=0,所以本说法正确;【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义,关键是明确运用好定义解决问题.举一反三:【变式】判断下列各题正误,并将错误改正:(1)没有平方根.()(2).()(3)的平方根是.()(4)是的算术平方根.()【答案】√;×;√;×,提
4、示:(2);(4)是的算术平方根.2、填空:(1)是的负平方根.(2)表示的算术平方根,.(3)的算术平方根为.(4)若,则,若,则.【思路点拨】(3)就是的算术平方根=,此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16;(2)(3)(4)9;±3【总结升华】要审清楚题意,不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:7【变式1】下列说法中正确的有():①3是9的平方根.②9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④是64的负的平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B;提示:①④是正确的.【变式2】求下列各式的值:(1)3(2)(3)(4)【答案】(1)15;(2
5、)15;(3)-0.3;(4)3、使代数式有意义的的取值范围是______________.【答案】≥;【解析】+1≥0,解得≥.【总结升华】当式子有意义时,一定表示一个非负数,即≥0,≥0.举一反三:【变式】代数式=有意义,则的取值范围是.【答案】.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的.(1)(2);(3)【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程,但是本题可以通过开平方的方法(2)小题将看作一个整体,(3)小题将看作一个整体,求出它们的解后,再求.【答案与解析】解:(1)∵∴∴(2)∵∴∴+1=±17=16或=-18.(3)∵∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解
6、一元二次方程的最基本方法.(2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验,其长是宽的3倍,面积是1323平方米.求长和宽各是多少米?【答案与解析】解:设宽为,长为3,由题意得,·3=132373=1323=-21(舍去)答:长为63米,宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长,注意实际问题中边长都是正数.(提高)【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2-4与3-1是同一个正数的两个平方根,求的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2-4=-(3-1),解方程即可求解.【答案与解析】
7、解:依题意得2-4=-(3-1),解得=1;∴的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数.举一反三:【变式】已知2-1与-+2是的平方根,求的值.【答案】2-1与-+2是的平方根,所以2-1与-+2相等或互为相反数.解:①当2-1=-+2时,=1,所以=②当2-1+(-+2)=0时,=-1,所以2、为何值时,下列各式有意义?(1);(2);(3);(4).【答案与解析】解:(1)因为,所以
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