高中立体几何证明垂直的专题训练

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1、高中立体几何证明垂直的专题训练深圳龙岗区东升学校——罗虎胜立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。(1)通过“平移”,根据若PEDCBA1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.求证：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE//BF，易证BF⊥平面PDC（第2题图）2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠

2、PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD；分析：取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF⊥平面PDC于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD63、如图所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点，且,为中边上的高。（1）证明：；（2）若求三棱锥的体积；（3）证明：.分析：要证，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD,易证DG⊥平面PAB4.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD。证明:;分析：取PD的中点F，易证AF//BE,易证AF⊥平面PDC（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质ACBP

3、5、在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；66、如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：AB⊥PC因为是等边三角形，,所以,可得。如图，取中点，连结,,则,,所以平面,所以。（3）利用勾股定理_D_C_B_A_P7、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，求证:平面；8、如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面；69、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；（

4、1）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面10、如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求与平面所成角的大小．解法一：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则又SD=1，故，所以为直角。由，得平面SDE，所以。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以平面SAB。6（4）利用三角形全等或三角行相似11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE,于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM

5、,∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O法二：连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；分析：取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB113、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；6（5）利用直径所对的圆周角是直角14、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径A

6、B的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.15、如图，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,C是狐AB的中点，为的中点．证明：平面平面;16、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心、为直径的球面交于点．求证：平面⊥平面；．证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.6