向量的坐标表示与运算

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1、向量的坐标表示及其运算【知识概要】1.向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如读作向量，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如，表示由到的向量.为向量的起点，为向量的终点）.向量（或）的大小叫做向量的模，记作（或）.注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量

2、的定义都是只限制大小，不确定方向.例1下列各量中不是向量的是（D）A.浮力B.风速C.位移D.密度例2下列说法中错误的是（A）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（D） A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆2）向量坐标的有关概念①基本单位向量:在平面直角坐标系中，方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为和.②将向量的起点置

3、于坐标原点，作，则叫做位置向量，如果点的坐标为，它在轴和轴上的投影分别为，则③向量的正交分解在②中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘上实数后组成的和式，该和式称为、的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对叫做向量的坐标，记为=.一般地，对于以点为起点，点为终点的向量，容易推得，于是相应地就可以把有序实数对叫做的坐标，记作=.3）向量的坐标运算：，则.4）向量的模：设，由两点间距离公式，可求得向量的模..注：①向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示

4、；②向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4已知点的坐标为，点的坐标为，且，求点的坐标.解：点的坐标为或.例5已知，求、的坐标.解：例6设向量，化简：（1）；（2）.解：都为.2.向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）.已知与为非零向量，若，则的充要条件是，所以，向量平行的充要条件可以表示为：例7已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.解：的坐标为或.3.定比分点公式1）定比分点公式和中点公式①是直线l上的两点，是l上不同于的任一点，存在实数，

5、使=，叫做点分所成的比，有三种情况：(内分)>0(外分)<-1(外分)-1<<0②已知、是直线上任一点，且=.是直线上的一点，令，则，这个公式叫做线段的定比分点公式，特别地时，为线段的中点，此时，叫做线段的中点公式.注：①可得；②当时，定比分点的坐标公式和显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设的三个点的坐标分别为，为的重心，则例8在直角坐标系内，点在直线上，且，求出的坐标.解：当在上时，；当在延长线上，.例9已知，是直线上一点，若，求点的坐标.解:注意定比分点的定点，可得.

6、*方法提炼*几个重要结论1.若为不共线向量，则，为以为邻边的平行四边形的对角线的向量；2.；3.为的重心【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位

7、向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（C）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3.在下列结论中,正确的结论为（D）

8、(1)a∥b且

9、a

10、=

11、b

12、是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且

13、a

14、=

15、b

16、是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且

17、a

18、=

19、b

20、是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或

21、a

22、≠

23、b

24、是a≠b的充分不必要条件A.(1)(3)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)4.已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是（D）A.点C分的比是-B.点C分的比是-3C点C分的比是-D点A分的比是2