2019年高考数学（文）二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练23 Word版含答案

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1、专题对点练23　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.[来源:Zxxk.Com]2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为

2、F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且

3、QF

4、=

5、PQ

6、.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且

7、F1F2

8、=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于

9、点Q,求证:

10、PN

11、·

12、QM

13、为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;[来源:学&科&网

14、]②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或

15、y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程

16、为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.[来源:Zxxk.Com]所以yE=-n.又S△BDE=

17、BD

18、·

19、yE

20、=

21、BD

22、·

23、n

24、,S△BDN=

25、BD

26、·

27、n

28、,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知

29、P(4,0),Q,

30、QF

31、=,由

32、QF

33、=

34、PQ

35、,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=

36、AB

37、

38、CD

39、·d2=(

40、AF

41、-1)(

42、DF

43、-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面

44、积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),