数学专业毕业论文正定矩阵集上的凹性定理

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1、正定矩阵集上的凹性定理卢兰秋（孝感学院数学系021113132，湖北孝感432100）摘要：本文将数学分析中的凹（凸）函数概念拓广到正定矩阵集上，给出了Minkovski不等式的一种简单证法，进而证明了本文的主要结果：对任意正定矩阵、及，有.关键词：正定矩阵；凹性定理；Minkovski不等式AConcavityTheoremOfPositiveDefiniteMatrixSetLULan-qiu(Dept.Math.,XiaoGanUniversity021113132,XiaoGan432100,HuBei)Abstract:Int

2、hispaper,wegeneralizetheconcavefunction’sconceptionofmathematicalanalysistothepositivedefinitematrixset,wealsogiveasimpleproofofMinkovskiinequality,andthenprovethemajorconclusion:Foranypositivedefinitematrix、and，wehave.Keywords:Positivedefinitematrix;Concavitytheorem;Min

3、kovskiinequality.100引言矩阵的行列式是矩阵中的一个重要概念，它在线性方程组和矩阵的特征值等方面有相当重要的地位，人们对于有关矩阵的行列式不等式已经得到了一些漂亮的结果，比如Minkovski不等式[1]：（1）本文将给出这个不等式的一种新证法，适用于更广泛的一类矩阵，还有Fanky凹性定：　（2）利用不等式的一个重要性质：几何平均值不小于算术平均值，由不等式（1），可得，进一步化为　（3）对（3）两边取对数，得到　　　（4）能否将（4）推广到更一般的结果，即若、为正定矩阵，对任意的，是否有（5）本文将证明这一结论，同

4、时将数学分析中的凹（凸）函数概念进行推广，定义正定矩阵集上的凹（凸）函数，最后考虑了给出正定矩阵集上的凹函数的一些应用．本文将建立关于正定矩阵的几个引理，借助这些结论，用一种较为初等的方法证明正定矩阵的Minkovski不等式，最后证明我们的主要结果，即：10定理　对任意正定矩阵、及，有．（6）本文用表示实数域，用、分别表示是矩阵的转置和行列式，用表示所有矩阵构成的线性空间．１　基本概念定义1[3]　设是实对称矩阵，如果对所有非零的，有则称为正定二次型，而称为正定矩阵.实对称矩阵是正定矩阵有多种等价定义形式，几种常见的等价命题是[3]：

5、引理1[3]　设为级实对称矩阵，则下列命题等价：(ⅰ)为正定矩阵；(ⅱ)合同于单位矩阵；(ⅲ)的所有顺序主子式全大于零；(ⅳ)的正惯性指数为；(ⅴ)的的所有特征值全大于零；定义2[4]设在上有定义，如果对,及0，成立不等式则称是上的凹函数.如果不等号反向，则称是上的凸函数.下面，我们把数学分析的凹（凸）函数概念推广为定义3设为在一个定义在上的实函数，如果对任意的正定矩阵、及任意，都有（7）称是正定矩阵集上的凹函数.如果不等号反向，则称10是正定矩阵集上的凸函数.比较根据定义2与定义3可知，正定矩阵集上的凹（凸）函数与通常的凹（凸）函数相

6、比较，它实际上是一种强凹（凸）函数.当是正定矩阵集上的凹（凸）函数时，它一定也是(0,)上的凹（凸）函数，这可以从正定矩阵、都取矩阵，即都取正实数看出；反之，对一般的凹（凸）函数，它们未必一定是正定矩阵集上的凹（凸）函数.对于，由，可知是上的凹函数，本文的主要结果说明了同时还是是正定矩阵集上的凹函数.定义4[5]任意，若存在可逆矩阵，使得、同时为(主对角元素为非负实数)的上三角矩阵，则称、为可广义同时(非负)上三角化，当时，则称、可同时(非负)上三角化.根据文献[5]及[6]中的结果，有对，若、满足下列条件之一，则它们可广义同时上三角化

7、：(ⅰ)或；(ⅱ)、为正定矩阵；(ⅲ)的特征根为非负实数；(ⅳ),且、的特征根为非负实数２　引理与定理的证明为证明主要结果及讨论正定矩阵集上的凹（凸）函数，下面，我们给出一些引论.引理1　设、是实对称阵，是正定阵，则存在实可逆阵，使为对角阵.证明　由于是正定阵，从而合同于，即存在实可逆阵，使,而仍为实对称阵，从而存在正交阵，使10（8）其中是的特征值，令，则，于是，有（9）注:　利用本证明方法，可以得出正定矩阵的一个重要结果：引理2　设、都是正定矩阵，则存在实可逆阵，使，，这里，.证明　仿照引理1的证明，只需注意到为正定矩阵，引理得证.

8、引理3[7]　对任意正定矩阵、，都有.引理4[5](赫尔特不等式)　设，，，则证明　当时，不等式显然成立，当或时等式成立；当时，记，则有所以，即得10，令则有引理2成立.结合引理[1]、引理[2]、引理[3