第5章 万有引与航天综合复习与训练

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1、14必修2第六章复习资料第六章万有引与航天2009-4-12知识框架：万有引力与航天知识要点：一、开普勒行星三定律１．开普勒行星三定律将行星的运动描述得更加完善。２．开普勒行星三定律的内容。第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。开普勒第一定律又叫轨道定律。第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，开普勒第二定律又叫面积定律。第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。开普勒第三定律又叫做周期定律。以Ｔ１、Ｔ２表示两个行星的公转周期，a１、a２表示两个行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为或，比

2、值Ｋ是与行星无关而只与太阳有关的恒量。中学阶段行星的运动轨道按圆轨道处理。所以有或（其中r是行星的轨道半径）二、万有引力定律（一）万有引力定律1．内容：自然界中的任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两个物体的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。引力的方向在两物体的连线上。2．公式：Ｇ为万有引力常量Ｇ＝6.67×10-11N·m2/kg21414必修2第六章复习资料3．适用条件：适用于相距离很远的，可以看作质点的物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间距离。当两个物体间距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。【例1】----两个物体间万有引力大小的计

3、算。如右图所示，在一个半径为Ｒ，质量为的均匀球体中，紧贴球边缘挖去一个半径为的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？分析：完整的均质球体对球外质点m的引力：。这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力与半径为的小球对质点的引力之和，即：Ｆ＝＋解：设半径为的小球质量为m2，则：，所以:。故挖去球后的剩余部分对球外质点m的引力为：　　点评：有的同学认为，可以先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，再应用万有引力公式求解。事实上这是不正确的，万有引力公式F=只能运用于两个质点或均匀的球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均质球了

4、，不能直接使用公式F=计算引力，本题巧妙利用“填补法”将万有引力的计算转化，使符合公式F=的适用条件，进行分析计算，值得注意的是，上述解答中F=+，当F、、不在一条直线上时，应是矢量运算，遵循平行四边形定则。（二）引力常量的测量1．卡文迪许实验卡文迪许实验的巧妙在于通过两次“放大”将非常微小的力测出来，一是利用了较长的“⊥”型架，并在两端附近对称地放上两个大质量金属球，使微弱的力有了明显的力矩，二是在悬挂“⊥”型架的金属丝上安装了一面平面镜，将入射光反射到远处的刻度尽上，金属丝的的微小转动使反射光点在刻度尽上有较大距离的移动。2．测定引力常量的意义如果没有引力常量G的测出，万有引力定律只有理论

5、意义，而无更多的实际意义，正是由于卡文迪许测出了引力常量G，才使得万有引力定律在天文学领域的发展上起了重要作用。（三）万有引力定律的应用1．研究天体（包括自然、人造）运动的基本方法一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即：＝；实际问题中，可根据不同的情况选择公式进行分析和计算。二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即：1414必修2第六章复习资料G＝mg从而得出：GM＝Rg。另外要注意综合圆周运动的有关公式：如＝，v=r等。说明：人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。※万有引力与重力的区别和联系重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。

6、重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如右图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力也不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。即赤道上g约为9.78m/s2，在两极约为9.83m/s2。2．具体应用（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）通过观察测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径和周期，则由牛顿运动定律得：由得又得（R为天体的半径）当卫星绕天体表面做匀速圆周运动时，有，则：【例2】某个行星可视为半径为R的球体，它有一沿着半径为10R的轨道做匀速圆周运动的卫星，已知卫星的运动周期为

7、T，求：（1）行星的平均密度；（2）卫星运动的加速度；（3）行星表面的“重力加速度”。解：（1）行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，设行星质量为，卫星质量为m，卫星绕行星运行的轨道半径为r，根据牛顿第二定律，有：。解得行星质量为：行星的体积为：根据密度的定义式可得行星的平均密度为：（2）卫星做匀速圆周运动的向心加速度为：（3）根据牛顿第二定律，卫星的加速度为：由上式可知，设行星表面的“