考研数学预习复习题

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1、

2、五、(导)函数的零点(方程的根或曲线与轴的交点)1、函数方程的根三种语言:函数的零点,曲线与轴的交点,方程的根常用方法:存在性闭区间上连续函数的介值定理唯一性单调性(导数的符号);反证法;简单作图(单调区间,极值),分析与轴的相对位置(1)设常数,在内零点个数为(2)当取何值时,恰好有两个不同零点2468(3)若,则方程无实根有唯一实根有三个不同实根有五个不同实根(4)设函数在连续,且,

3、则在内的根是012无穷多个(5)在内,方程无实根有且仅有唯一实根有且仅有两个实根有无穷多个实根(6)证明在内有且仅有两个不同实根(7)讨论的零点个数(8)

4、讨论曲线与的交点个数(2003,2)(9)就的不同取值,确定方程在内根的个数,并证明你的结论(10)求方程不同实根的个数,其中为参数(2011,1)(11)设有方程,其中为正整数,证明此方程存在唯一正实根

5、(2004,1)(12)证明方程恰有2个实根(2011,3)

6、第三部分一元函数积分学一、基本要求1掌握不定积分的基本性质和基本积分公式2掌握不定积分的换元与分部积分法3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数一、二)4理解定积分的概念和基本性质,掌握定积分中值定理5理解积分上限函数,并会求其导数6会计算反常积分7掌握定积分计算平

7、面图形的面积,旋转体的体积和函数的平均值;(仅数一、二要求)掌握用定积分计算平面曲线的弧长,旋转体的侧面积,平行截面面积已知的立体体积;功引力、压力等;(仅数三要求)利用定积分求解简单的经济应用问题二、重点1不定积分与定积分的概念、性质、计算2各种类型的变限积分问题3和定积分相关的证明4定积分的应用问题

8、三、难点1和定积分相关的证明2定积分的应用问题四、内容小结1原函数(不定积分)存在定理连续函数必有原函数注:含间断点的函数也可能存在原函数如,,在不连续,但显然是的一个原函数,因为是只有一个间断点的有界函数,所以可积,且2不定积分的性质上其中

9、

10、3基本公式(熟)4基本积分法重要凑微分法:熟悉常见的凑微分因子换元法:三角代换、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换分部积分法:适用于两种不同类型函数乘积的积分注:,,,等在初等函数范围内没有原函数!

11、5定积分定义连续可积,即特例:,即等分如,(1)(2)

12、(3)(4)(2004,2)等于(5)

13、6定积分性质(1)(2)(3)线性性质、可加性(4)以上性质用于计算!(5)比较定理若在可积且,则事实上,若在连续,且,只要不恒等于,则推论:若在可积,且,则若在可积,则在可积,且常考!若是上非负的连续函数,只要不恒等于零,则必有(6)估值定理

14、设

15、的最小值与最大值分别为和,则(7)定积分中值定理常用于证明!若在连续,则在上至少存在一点,使或称上式为在的平均值公式(8)如果在连续,且不变号,则至少存在一点,使7重要公式、定理(1);;(2)变限积分的性质及其导数

16、①若在可积,则在上连续;②若在连续,则在上可导证明定积分有关命题时使用!注:变限积分只要存在就是连续的!③设是连续函数,(3)当为奇函数,为偶函数;当为偶函数,为奇函数;

17、奇函数的所有原函数都是偶函数;偶函数的所有原函数只有一个是奇函数(4)定积分存在的充分条件:在连续或在上有界且只有有限个间断点,则存在,也称在可积定积分存在的

18、必要条件:可积函数必有界.即若存在,则在上必有界(5)微积分基本公式(牛顿--莱布尼兹公式),注:①在连续,揭示了不定积分和定积分的联系②在积分区间上只有有限个间断点的被积函数,只要其在上存在原函数,牛顿--莱布尼兹公式依然成立(6)换元公式:条件:在连续,在连续,且,通常取为单调函数注:换元必换限!分部积分公式:

19、(7)在连续,则(8);(9)设是连续函数,则利用换元法证明

20、(10)概率积分(11)设是以为周期的连续函数,则,其中为任意常数

21、(12)三角函数系在正交,即任意两个不同函数在上的积分值等于零,为正整数(13)广义积分(反常积分)

22、其中其中其中

23、一般是看分母为零的点!但也有例外:是瑕积分而不是广义积分,因为几个重要的广义积分:①记法:将看作倒代换后利用上面的结果可得:②③(14)定积分的应用典型例题:

24、一、不定积分1、原函数与不定积分的概念(1),且,则(2)已知,求2、不定积分的计算基本积分法(重要!)凑微分:熟悉常见的凑微分因子(1)(2)(3)(4)

25、(5)(6)(1)练习凑微分:

26、,

27、换元法:根式代换、三角代换、指数代换、倒代换、其他代换(反三角或对数代换)等(1)(2)(3)

28、(1)(2)分部积分法:适用于两种不同类型函数乘积的积分,也常用于递推公式的推导(3

29、)(4)(5)(6)(7)(2011,3)(8)有理函数(分子、分母都是多项式函数)的不定积分

30、(1)(2)三角有理式(由正、余弦函数及常数经过有限次四则运算得到的

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