考研数学预习复习题

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1、

2、五、（导）函数的零点（方程的根或曲线与轴的交点）1、函数方程的根三种语言：函数的零点，曲线与轴的交点，方程的根常用方法：存在性闭区间上连续函数的介值定理唯一性单调性(导数的符号);反证法；简单作图（单调区间，极值），分析与轴的相对位置（1）设常数，在内零点个数为（2）当取何值时，恰好有两个不同零点2468（3）若，则方程无实根有唯一实根有三个不同实根有五个不同实根（4）设函数在连续，且，

3、则在内的根是012无穷多个（5）在内，方程无实根有且仅有唯一实根有且仅有两个实根有无穷多个实根（6）证明在内有且仅有两个不同实根（7）讨论的零点个数（8）

4、讨论曲线与的交点个数（2003,2）（9）就的不同取值，确定方程在内根的个数，并证明你的结论（10）求方程不同实根的个数，其中为参数（2011,1）（11）设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正实根

5、（2004,1）(12)证明方程恰有2个实根（2011,3）

6、第三部分一元函数积分学一、基本要求1掌握不定积分的基本性质和基本积分公式2掌握不定积分的换元与分部积分法3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数一、二)4理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理5理解积分上限函数，并会求其导数6会计算反常积分7掌握定积分计算平

7、面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值；（仅数一、二要求）掌握用定积分计算平面曲线的弧长，旋转体的侧面积，平行截面面积已知的立体体积；功引力、压力等；（仅数三要求）利用定积分求解简单的经济应用问题二、重点1不定积分与定积分的概念、性质、计算2各种类型的变限积分问题3和定积分相关的证明4定积分的应用问题

8、三、难点1和定积分相关的证明2定积分的应用问题四、内容小结1原函数（不定积分）存在定理连续函数必有原函数注：含间断点的函数也可能存在原函数如，，在不连续，但显然是的一个原函数，因为是只有一个间断点的有界函数，所以可积，且2不定积分的性质上其中

9、

10、3基本公式（熟）4基本积分法重要凑微分法:熟悉常见的凑微分因子换元法:三角代换、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换分部积分法:适用于两种不同类型函数乘积的积分注：，，，等在初等函数范围内没有原函数！

11、5定积分定义连续可积，即特例：，即等分如，（1）（2）

12、（3）（4）（2004,2）等于（5）

13、6定积分性质（1）（2）（3）线性性质、可加性（4）以上性质用于计算！（5）比较定理若在可积且，则事实上，若在连续，且，只要不恒等于，则推论：若在可积，且，则若在可积，则在可积，且常考！若是上非负的连续函数，只要不恒等于零，则必有（6）估值定理

14、设

15、的最小值与最大值分别为和，则（7）定积分中值定理常用于证明！若在连续，则在上至少存在一点，使或称上式为在的平均值公式（8）如果在连续，且不变号，则至少存在一点，使7重要公式、定理（1）；；（2）变限积分的性质及其导数

16、①若在可积，则在上连续；②若在连续，则在上可导证明定积分有关命题时使用！注：变限积分只要存在就是连续的！③设是连续函数，（3）当为奇函数，为偶函数；当为偶函数，为奇函数；

17、奇函数的所有原函数都是偶函数；偶函数的所有原函数只有一个是奇函数（4）定积分存在的充分条件：在连续或在上有界且只有有限个间断点，则存在，也称在可积定积分存在的

18、必要条件：可积函数必有界.即若存在，则在上必有界（5）微积分基本公式（牛顿--莱布尼兹公式），注：①在连续，揭示了不定积分和定积分的联系②在积分区间上只有有限个间断点的被积函数，只要其在上存在原函数，牛顿--莱布尼兹公式依然成立（6）换元公式：条件：在连续，在连续，且，通常取为单调函数注：换元必换限！分部积分公式：

19、（7）在连续，则（8）；（9）设是连续函数，则利用换元法证明

20、（10）概率积分（11）设是以为周期的连续函数，则，其中为任意常数

21、（12）三角函数系在正交，即任意两个不同函数在上的积分值等于零，为正整数（13）广义积分（反常积分）

22、其中其中其中

23、一般是看分母为零的点!但也有例外:是瑕积分而不是广义积分,因为几个重要的广义积分：①记法:将看作倒代换后利用上面的结果可得:②③（14）定积分的应用典型例题：

24、一、不定积分1、原函数与不定积分的概念（1），且，则（2）已知，求2、不定积分的计算基本积分法（重要！）凑微分：熟悉常见的凑微分因子（1）（2）（3）（4）

25、（5）（6）（1）练习凑微分：

26、，

27、换元法：根式代换、三角代换、指数代换、倒代换、其他代换（反三角或对数代换）等（1）（2）（3）

28、（1）（2）分部积分法：适用于两种不同类型函数乘积的积分，也常用于递推公式的推导（3

29、）（4）（5）（6）（7）（2011,3）（8）有理函数（分子、分母都是多项式函数）的不定积分

30、（1）（2）三角有理式（由正、余弦函数及常数经过有限次四则运算得到的