振动力学(部分)课后答案 (刘延柱 著) 高等教育出版社.pdf

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1、1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。lxm1m图E1.1解：系统的动能为：1()212T=mx"l+Ix"22其中I为杆关于铰点的转动惯量：l⎛m1⎞2lm1212I=∫⎜dx⎟x=∫xdx=m1l0⎝l⎠0l3则有：1221221()22T=mlx"+mlx"=3m+mlx"11266系统的势能为：lU=mgl()1−cosx+mg⋅()1−cosx1212121()2=mglx+mglx=2m+mglx11244利用x"=

2、ωx和T=U可得：n3(2m+m)g1ω=n()23m+ml11.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。kAkaCRθ图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：121⎛212⎞2322T=IBθ"=⎜mR+mR⎟θ"=mRθ"22⎝2⎠41[]()2()22U=2⋅kR+aθ=kR+aθ2利用θ"=ωθ和T=U可得：n()24kR+aR+a4kω==n23mRR3m1.3转动

3、惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k，k和k的轴约束，如图E1.3所示。123求系统的固有频率。Jk1k2k3图E1.3解：系统的动能为：12T=Jθ"2k和k相当于串联，则有：23θ=θ+θ,kθ=kθ232233以上两式联立可得：kk32θ=θ,θ=θ23k+kk+k2323系统的势能为：1212121⎡k1(k2+k3)+k2k3⎤2U=kθ+kθ+kθ=⎥θ12233⎢2222k+k⎣23⎦利用θ"=ωθ和T=U可得：nkk+k(k+k)23123ω=n()Jk+k231.4在图E1.4所示的系统

4、中，已知k(i=1,2,3),m,a和b，横杆质量不计。求固有i频率。x1k1k2abx0x2x′bF=mgab1a+bk3mgaF=mg2ma+b图E1.4答案图E1.4解：对m进行受力分析可得：mgmg=kx，即x=333k3如图可得：FmgbFmga12x==,x==1()2()ka+bkka+bk1122()22ax−xak+bk2112x=x+x′=x+=mg0112a+b()a+bkk12⎡22⎤ak+bk1112x=x0+x3=⎢2+⎥mg=mg⎣()a+bk1k2k3⎦k0则等效弹簧刚度为

5、：()2a+bkkk123k=e22()2akk+bkk+a+bkk132312则固有频率为：()2kkkka+be123ω==n222mm[]kk()a+b+k()ka+kb123121.7质量m在倾角为α的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m，如图E1.7所12示。确定系统由此产生的自由振动。x12m1m2hx2kx0xα图E1.7答案图E1.7解：对m由能量守恒可得（其中v的方向为沿斜面向下）：1112mgh=mv，即v=2gh11112对整个系统由动量守恒可得：m()1mv=m+mv，即v=2g

6、h111200m+m12令m引起的静变形为x，则有：22mgsinα2mgsinα=kx，即x=222k令m+m引起的静变形为x，同理有：1212(m+m)gsinα12x=12k得：mgsinα1x=x−x=0122k则系统的自由振动可表示为：x"0x=xcosωt+sinωt0nnωn其中系统的固有频率为：kω=nm+m12注意到v与x方向相反，得系统的自由振动为：0v0x=xcosωt−sinωt0nnωn1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角θ为广

7、义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？aOkckθacθ"l图E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得：12Iθ""=−kθa⋅a−cθ"l⋅l，I=ml322223kamlθ""+3clθ"+3kaθ=0，ω=n2ml23cl3c12amk=2ξω，ξ=⋅<1⇒c<2nml2mωl3nlmglmg⋅=kθa⋅a，θ=00222ka1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，

8、在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为F=μ2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼d自由振动的周期为T，在粘性流体中自由振动的周期为T。求系数μ。0d图E1.12解：平面在液体中上下振动时：m"x"+2μSx"+kx=0k2π22πω==，ω=ω1−ξ=ndnmTT0d222μSμS2μS=2ξω⇒ξ=，ξ=nmmωkn222k−μS1−ξ=k222π2πk−μS2πm22=⇒μ=T−Td0T