微积分知识整理.pdf

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1、高等数学A知识整理第一章极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性*单调性的定义（以递增为例）：x,xD，若x＜x时f(x)f(x)，则f(x)在D上单调递增；将改为＜，则12f1212ff(x)在D上严格单调递增。f*有界的定义：M＞0，对于xAD，都有

2、f(x)

3、M，则f(x)在A上有界。f（f(x)≥m∈R，则f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。*反函数存在的可能

4、情况：①y与x一一对应；②f(x)是某区间上的严格单调函数（反函数的单调性与原来的函数相同）11*Df1Rf；当xDf时，f(f(x))x；当xRf时，f(f(x))x。4、初等函数：包括6大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对N的限制，从而找到N；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1）若limaA，则{aA}是无穷

5、小量。（一种证明极限的方法）nnn（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。6、收敛数列的性质（1）收敛数列必然有界（2）收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。（☆逆否命题：如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。）（3）夹逼性（注意夹条件与逼条件）（4）*保号性：若limaA＞0，则必然存在N，当n＞N时，a＞0（.小于0类似）nnn7、无穷大量的两个定义：11（1）若{}为无穷小量，则{a}为无穷大量；nan（2）K＞0，N，当n＞N时，

6、a

7、＞K。n8、数列收敛的判定方法与极限的求解（1）利用极限的

8、定义（先知道极限才能使用，技巧性略强）（2）单调有界数列必收敛（不能同时求出极限，往往用于递推式）（3）利用子列的收敛性（可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散）（4）柯西收敛准则（不能同时求出极限，往往用于求和式）（5）Stolz定理：aaan1nn若{b}严格单调递增且limb，而limA，则limA。（可以同时nnnnbbnbn1nn求出极限，常常用于比值形式的式子）（6）递推式求极限：不动点法——af(a)，且limaA，则Af(A)。n1nnnaa...a12n（7）平均值法：若limaA，则limA。nnnn（8）利

9、用定积分的定义求极限。需要配凑Riemann和的形式。9、几个重要数列的极限n（1）a＞0时，lima1；nn（2）limn1；nn（3）limn!；nkn（4）lim0，其中k0，a＞1为常数；nna111anan...an1anan...an（5）lim(12k)nmax{a,a,...,a}；lim(12k)nkaa...a.12k12knknk10、数列极限型函数的表达式：f(x)limg(n,x)。n处理方式：对x分类讨论，在各种情况下将x视为常数，对n求极限。nx1例如：f(x)lim，xR。求f(x)。nn

10、2x111xn1①当x＞1时，f(x)lim；n122nx2.②当x1时，f(x)；3nx101③当0＜x＜1时，f(x)lim1。nn2x101最终结果要写成分段函数。2三、函数的极限1、函数极限的定义：ε-δ语言（某点x0处）、ε-M语言（x→∞时）。2、数列极限与函数极限的关系：Heine定理limf(x)A对任一数列{x}满足limxa，有limf(x)A。（a可以是）nnnxann逆否命题：limf(x)不存在存在两个数列{x},{y}，满足limxlimya，nnnnxann且limf(x)与limf

11、(y)不都存在或者limf(x)limf(y)。nnnnnnnn3、极限的性质：（1）四则运算、连续函数极限的复合运算；（2）夹逼性；（3）*保号性；（4）（函数）局部有界性：若limf(x)A，则在a的一个邻域内，f(x)有界。xa（5）有序性：若f(x)＜g(x（)或者）在a的一个邻域内成立，则limf(x)limg(x)。（反过来未必成立）xaxa1sinx1xx4、两个重要极限：lim1；li