初中数学教师培训材料：问题模型与试题设计

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1、初中数学教师培训材料：问题模型与试题设计﹡﹡见山是山，见山不是山，见山是山﹡﹡一、问题模型﹙一﹚概述1.问题模式：结果＝f（情景，对象，方式，条件，要求，任务）。CDABαl12mm例1小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）【2009年吉林省中考试题】DCBAEP说

2、明：﹙生活﹚情景（背景）：平行线，或纸片放在一组等距的平行线上；对象：平行线，矩形；﹙操作﹚方式：摆放，测量；条件：平行线是等距的，距离为12mm,=36°,(辅助条件)sin36°≈0.60等；要求：精确到1mm；任务：求周长；结果：长度值；f：如图所示摆放，使各顶点处于特定的位置。例2如图，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．【2009年山东省临沂市中考试题】说明：﹙数学﹚情景：基形为菱形。对象：（基本对象）菱形，（构建对象）垂直平分线，线段；方式：推理

3、；条件：菱形，垂直平分，对角线，；无特殊要求；任务：求角度值；f：BD为菱形对角线，AD的垂直平分线与对角线相交。2.六因素说明﹙1﹚“情景”主要有两种：①生活情景，如海面、灯光等；②数学情景，如网格、运动等.﹙2﹚“对象”主要有三种：①实物对象，如树等；②模型对象，如三角形、方程等；③任务对象，如决策对象，阅读对象等.﹙3﹚“方式”主要有四种：①操作方式，如使用测角器的测量方式，图形分割、旋转等；②说理方式，如合情推理等；③应用方式，如决策、方案设计、最值等；④学习方式，如阅读理解与运用等.﹙4﹚“条件”主要有四种：

4、①数值条件，如角度、长度等；②关系条件，如图形之间的关系，代数式间的关系等；③结构性条件，这里又有三种，（a）情景图所确定的结构，如测量中的”两角一边”型图形或它的变式图形，组合图形；﹙b﹚图形结构，如位置关系等；﹙c﹚代数结构，如式的结构等；④辅助性条件，这里又有两种：﹙a﹚限制性条件，如点的运动方式的限制性条件，最值所满足的条件；﹙b﹚说明性条件，如概率情景中球的外形、质感相同等.﹙5﹚“要求”主要有三种：①操作性要求，如折叠后使某点落在某位置等；②任务性要求，如“判断”，“猜想”，“探究”等；③结果性要求，主要是

5、指对结果表现形式的要求，如“写出一个结论”，“不要求写画法”，“结果保留”等.﹙6﹚“任务”主要有四种：﹙1﹚操作性任务，如画图、求解等；﹙2﹚推理性任务，如归纳、证明等；﹙3﹚应用性任务，如决策等；﹙4﹚学习性任务，如阅读理解基础上的求解、探究等运用性任务.﹙7﹚“结果”主要有六种：①数值性结果，如概率；②方案性结果，结果为一个或若干个方案；③图形性结果，结果为一个图形；④关系性结果，结果为几何对象或代数对象之间的某种关系；⑤结论性结果，如某人发挥水平较为稳定等；⑥问题实例性结果，如所提问题，所举实例等.3．试题模型

6、：试题＝g（问题，题型）.例3如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．QCBAOxP图①y（1）四边形OABC的形状是，当时，的值是；（2）如图②，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；如图③，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（Q）CBAOxP图③yQCBAOxP图

7、②yCBAOyx（备用图）【2009年浙江省宁波市中考试题】说明：问题：直角坐标系下，特殊矩形摆放在特殊位置，绕某点﹙原点﹚旋转，根据旋转的不同时刻产生不同的问题；根据问题的特殊性、难易性、所考查的目标等因素考虑，选择不同的题型进行表征，便形成了鲜活的试题。﹙二﹚变式Ⅰ.操作型问题操作结果＝f（操作性情景，对象，操作方式，条件，要求，任务）。1．测量型问题测量性结果＝f（测量性情景，对象，测量方式，条件，要求）。﹙1﹚数值性结果数值性结果＝f（测量性情景，对象，测量方式，条件），其中的条件主要有两种：由测量方式所确定的

8、、有情景图所描述的结构性条件和由测量所得到的数值条件﹙如仰角等﹚.例4某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区ACDEFB风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处．在同一平面内，若测得斜坡的长为100米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为．（