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1、《电磁场与电磁波》——习题详解第一章矢量分析vvvv1-1矢径r=xe+ye+ze与各坐标轴正向的夹角为α、β、γ。请用坐标xyz222(x,y,z)表示α、β、γ，并证明：cosα+cosβ+cosγ=1xyz222解：cosα=，cosβ=，cosγ=，其中r=x+y+zrrr222222222xyzx+y+z证明：cosα+cosβ+cosγ=++==12222rrrrvvvvvvvv1-2已知A=e−9e−e，B=2e−4e+3e，求：xyzxyzvvvvvvvv(1)A+B(2)A−B(3)A⋅B(4)A×Bvvvvvvvvvvv解：（1）A+B=(e−9e−e)+
2、(2e−4e+3e)=3e−13e+2exyzxyzxyzvvvvvvvvvvv（2）A−B=(e−9e−e)−(2e−4e+3e)=−e−5e−4exyzxyzxyzvvvvvvvv（3）A⋅B=(e−9e−e)⋅(2e−4e+3e)xyzxyz=1×2+(−9)×(−4)+(−1)×3=2+36−3=35vvveeexyzvv（4）A×B=1−9−12−43vvv=(−9×3−(−4)×(−1))e−(1×3−2×(−1))e+((−4)×1−2×(−9))exyzvvv=−31e−5e+14exyzvvvvvvvvvvvv1-3已知A=e+be+ce，B=−e+3e+8
3、e，若使A⊥B及A//B，则b和xyzxyzc各应为多少？vvvv解：要使A⊥B，则A⋅B=0即−1+3b+8c=0或3b+8c−1=0，满足此方程的全部b、c即为所求。1习题一vvvv要使A//B，则A×B=0即vvveeexyzvvvvvA×B=1bc=e()8b−3c−e()8+c+()3+be=0xyz−138求得b=−3,c=−8vvvvvvvvvv1-4已知A=12e+9e+e，B=ae+be，若B⊥A及B模为1，试确定a、xyzxyb。vvvvv22解：要使B⊥A，则A⋅B=0即12a+9b=0，要使B=1即a+b=1，求得：⎧3⎧3a=a=−⎪⎪55⎨或⎨44
4、⎪b=−⎪b=⎩5⎩522πππ1-5求函数ϕ=xy+z−xyz在点(1,1,2)处沿方向角α=、β=、γ=的343方向的方向导数∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ解：=cosα+cosβ+cosγ∂l∂x∂y∂z(2)π()π()π=y−yzcos+2xy−xzcos+2z−xycos343∂ϕ121=()1−2+()2xx−1×2+()2×2−1×1∂l()1,1,222211=−+3×=1221-6求函数ϕ=xyz在点(5,1,2)处沿着点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向的方向导数。222解：两点的距离为r=()()()9−5+4−1+19−2=314，方向余弦为2《电磁场与电磁
5、波》——习题详解9−54cosα==r3144−13cosβ==r31419−217cosγ==r314∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ=cosα+cosβ+cosγ=yz⋅cosα+xz⋅cosβ+xycosγ∂l∂x∂y∂z∂ϕ11123=()1×2×4+5×2×3+5×1×17=()8+30+85=∂l()5,1,23143143142221-7已知ϕ=x+2y+3z+xy+3x−2y−6z，求在点(0,0,0)和(1,1,1)处的梯度。∂ϕv∂ϕv∂ϕv解：∇ϕ=gradϕ=e+e+exyz∂x∂y∂zvvv=(2x+y+3)e+(4y+x−2)e+(6z−6)exyzvvv在（0，
6、0，0）处gradϕ=3e−2e−6e(0,0,0)xyzvv在（1，1，1）处gradϕ=6e+3e(1,1,1)xy1-8u、v都是x、y、z的函数，u、v各偏导数存在且连续，证明：(1)grad(u+v)=gradu+gradv(2)grad(uv)=ugradv+vgradu2(3)grad(u)=2ugradu∂()u+vv∂(u+v)v∂(u+v)v证明：（1）grad()u+v=e+e+exyz∂x∂y∂z3习题一⎛∂uv∂uv∂uv⎞⎛∂vv∂vv∂vv⎞=⎜ex+ey+ez⎟+⎜ex+ey+ez⎟⎝∂x∂y∂z⎠⎝∂x∂y∂z⎠=gradu+gradv∂()
7、uvv∂()uvv∂(uv)v（2）grad()uv=e+e+exyz∂x∂y∂z∂vv∂uv∂vv∂uv∂vv∂uv=ue+ve+ue+ve+ue+vexxyyzz∂x∂x∂y∂y∂z∂z⎛∂vv∂vv∂vv⎞⎛∂uv∂uv∂uv⎞=u⎜ex+ey+ez⎟+v⎜ex+ey+ez⎟⎝∂x∂y∂z⎠⎝∂x∂y∂z⎠=ugradv+vgradu2（3）由（2）知：grad(u)=ugradu+ugradu=2ugradu1-9证明：vvvv(1)∇⋅(A+B)=∇⋅A+∇⋅Bvvv(2)∇⋅(ϕA)=ϕ∇⋅
