电磁场与电磁波讲义(电子科大第三版)

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1、第一章　矢量分析仅具有大小特征的量为标量，标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数来描述；不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量，矢量的空间分布构成矢量场，矢量场可用一个矢量函数来描述。矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律的基本数学工具：标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述，因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。1.1矢量代数1.矢量的表示矢量可用一条有方向的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，称为矢量的模；箭头的指向表示矢量的方向。用表示与矢量同方向的单位矢量，则　

2、　；2.矢量的加法　矢量的加法遵循平行四边形法则，加法运算符合结合律和交换律。　　交换律：；结合律：　两个矢量的相减可以归结为相加运算。3.矢量的乘法(1)标量与矢量相乘矢量与标量的乘积为矢量，大小为。若，与同向；若，与反向。(2)矢量的标积或点积　标积的运算符合交换律和分配律：；20(3)矢量的矢积或叉积　　大小：；即等于矢量和构成的平行四边形的面积。方向：与矢量和垂直，其指向由右手螺旋决定。　　矢量积不服从交换律，但服从分配律：；(4)标量三重积（三矢量的混合积）形式：几何意义：等于矢量构成的平行六面体的体积性质：a.把三个矢量按循环次序轮换，其积不变

3、。b.只把两矢量对调，其积差一负号。(5)矢量三重积（三矢量的矢积）形式：性质：1.2　三种常用的正交坐标系1.直角坐标系(1)坐标变量，，(2)空间点任意空间点是三个平面的交点。(3)单位矢量20，，，分别沿增加的方向，且遵循右手螺旋法则：，，(4)矢量表示式(5)位置矢量(6)元位移(7)面积元，，(8)体积元　　(9)直角坐标系中的矢量代数2.圆柱坐标系(1)坐标变量，，(2)空间点任意空间点是以下三个面的交点：的圆柱面、包含轴并与平面构成夹角为的半平面、的平面。20(3)单位矢量，，，分别沿增加的方向，且遵循右手螺旋法则：，，，不是常矢量。(4)矢

4、量表示式(5)位置矢量(6)元位移(7)面积元，，(8)体积元(9)圆柱坐标系中的矢量代数3.球坐标系(1)坐标变量，，(2)空间点任意空间点是以下三个面的交点：球心在原点、半径20的球面；顶点在原点、轴线与轴重合且半顶角的正圆锥面；包含轴并与平面构成夹角为的半平面。(3)单位矢量，，，分别沿增加的方向，且遵循右手螺旋法则：，，，，都不是常矢量。(4)矢量表示式(5)位置矢量(6)元位移(7)面积元，，(8)体积元(9)圆柱坐标系中的矢量代数4.三种坐标系坐标变量之间的关系(1)直角坐标系与柱坐标系的关系，，；20，，(2)直角坐标系与球坐标系的关系，，；

5、，，(3)柱坐标与球坐标，，；，，5.三种坐标系坐标单位矢量之间的关系０－０００１(1)直角坐标系和柱坐标系中单位矢量的关系(2)直角坐标系和球坐标系中单位矢量的关系０1.3标量场的梯度标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数来描述。与时间无关的场称为静态场，静态标量场可用函数20来描述。为了考察标量场在空间的分布和变化规律，引进等值面、方向导数和梯度的概念。1.标量场的等值面(1)定义空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面,等值面满足方程(2)特点a.常数C取一系列不同的值时，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；b.标量场的等值面族充满

6、场所在的整个空间（连续）；c.标量场的等值面互不相交（单值）。2.方向导数(1)定义设是标量场中的一点，是从点出发的一条射线，是射线上的动点，与点的距离为，则定义标量场在点处沿方向的方向导数。显然，方向导数值既与点有关，也与方向有关。(2)意义方向导数是标量场在点处沿方向对距离的变化率。当时，标量场沿方向增加；当时，标量场沿方向减小；当时，标量场沿方向无变化。(3)计算公式根据符合函数求导法则，在直角坐标系中设方向的方向余弦是，则20上式为直角坐标系中方向导数的计算公式。(4)例：求函数在点处沿方向的方向导数。3.梯度(1)定义标量场在点处的梯度是一个矢量

7、，它的方向沿场量变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，记作，用表示场量变化率最大的方向上的单位矢量，则(2)计算式在直角坐标系中，令则当与方向一致时，方向导数的值最大，等于矢量的模，根据梯度的定义，直角坐标系中梯度的表达式为直角坐标系中，哈密顿算符表示为标量场的梯度可用哈密顿算符表示为标量场的梯度可认为是哈密顿算符作用于标量函数的一种运算。20(3)性质a.标量场的梯度是一个矢量场，称为标量场所产生的梯度场；b.标量场中，在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影；c.标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，指向增加的方向。证明：沿等值面

8、方向导数为零，说明梯度与等值面垂直；沿梯度方向方向导数为正，说明增