可靠性数学基础知识

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1、可靠性数学基础知识重庆大学周家启1集合与事件概率是事件的一定属性，事件可以通过集合(简称“集”)来描述。因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。1.1集合的定义和符号具有某种规定性质的事物的总体称为集(合)。组成集合的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。只有有限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为无限集。例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果某一个体x是集A的元素，则记为读作“x属于A”。而则表示x不属于A。如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每个元素都是B的元素，

2、集B的每个元素也都是A的元素，则说A等于B，记为A=B。有限集A中元素的数目叫A的基数，记为

3、A

4、。一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例如与括号中元素的排列次序无关。一个集P也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素。于是前面列出的集S也可写成或有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则说B是A的子集，记为64或有时读成A包含B。一个集A也总是它本身的一个子集，。集A中任何一个不等于A的子集B称为A的真子集，记为或如果且，则A=B。1.1集合的基本组合规则通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合，一般有如下一些运算规则。如

5、果A和B是两个集，则它们的并定义为它们的交定义为例1如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则=[1、2、3、5、7]；=[2、3]如果集A和集B没有公共元素，则称它们为不相交的集。这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素的集。称其为空集，以表示。因之，而且也是任意一个集N的子集。集的并和交的运算服从以下规则1.幂等律，2.交换律，3.结合律，4.分配律，集A和集B的差A–B定义为64如果B是A的一个子集，则有时称A–B为B在A中的补集。例2如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则S–T=[5、7]；T–S=[1]1.1集的集合的概念在可靠性评估技术中常会碰到集中

6、的元素本身也是一个集的情况。以下用所谓的幂集来说明这个概念。定义任意集A的幂集(A)为A的全部子集的集合，即例3令A=[x,y,z]，则对于集的集合，其并和交的定义是：令为任意集的集合，则并而交如果是有限个集的集合，例如，则常可写出或或例4令=[A、B、C]，其中A=[2，3，5，7]，B=[1，3，5]，C=[1，2，3]，则=[1、2、3、5、7]，还可以由其它的方式构成集的集合。如果集A的每一个元素至少属于集中的一个成员，即，则称集A的非空子集的集合为A的覆盖。如果A的一个覆盖还具有如下性质：64的全部成员都是两两互不相交的，则称是A的一个划分。例5如果S=[a、b、c、d、

7、e]，则可以有如下覆盖{[a、b]，[b、c、d]，[b、c、e]}；{[a、b]，[c、d、e]}；{[a]、[b]、[c]、[d]、[e]}并且上面第二及第三个覆盖又是A的两个划分。1.1事件及其集合表达1.1.1样本空间人类的生产和科研活动、或观察到的自然现象，都存在着相互联系与制约的因素，有其一定的内在必然发展规律，但它们同时又受着各种各样外在偶然因素的影响，呈现出现象发生的“随机性”。概率论和统计学就发端于对这些“随机”现象的研究。随机现象的基本特征是，这些现象在一定条件下可能发生，也可能不发生，需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律。统计方法往往是在一定条件下进行试

8、验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据的过程。抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。例6将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，则样本空间S={{正，正

9、}，{正，反}，{反，正}，{反，反}}例7在足够长的统计时期内，“一年出现1次故障”的全部可能结果，即其样本空间S={0，1，2，3，…}1.1.2事件事件总是与某些实验的结果相关联，理论研究中一般作出以下假设：(1)在相同条件下重复进行；(2)实验的结果可能不只一个；64(3)不可能预先判定每一次实验将出现的结果。工程研究中的事件一般都可以用集合来描述为：样本空间中的一个子集称为事件。例8设某种电子元件使用寿命的样本空间为，式中t为该元件的寿命，则是该元件寿命等于