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《常微分方程-王高雄-第三版参考答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.2dy1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。dxdy2解：=2xdx两边积分有：ln
2、y
3、=x+cy2xc2y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=02原方程的通解为y=cex,x=0y=1时c=12x特解为y=e.22.ydx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。2dy1解：ydx=-(x+1)dydy=-dx2yx+111两边积分:-=-ln
4、x+1
5、+ln
6、c
7、y=yln
8、c(x+1)
9、另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e1特解：y=ln
10、c(x+1)
11、2dy1+y3．=3dxxy+xy2dy
12、1+y1解：原方程为：=3dxyx+x21+y1dy=dx3yx+x222两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4.(1+x)ydx+(1-y)xdy=01−yx+1解：原方程为：dy=-dxyx两边积分：ln
13、xy
14、+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：1dyx−y=-dxx+yydydu令=u则=u+x代入有：xdxdxu+11-du=dx2u+1x22ln(u+1)x=c-2arctgu22y即ln(y+x)=c-2arctg.2xdy226.x-y+x−y=0dxdyy
15、x
16、y2解：原方程为：=+-1−()dxx
17、xxydydu则令=u=u+xxdxdx11du=sgnxdx1−u2xyarcsin=sgnxln
18、x
19、+cx7.tgydx-ctgxdy=0dydx解:原方程为：=tgyctgx两边积分：ln
20、siny
21、=-ln
22、cosx
23、-ln
24、c
25、1csiny==另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c.2y+3xdye8+=0dxy2ydye3x解：原方程为：=edxy3x2−y2e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0dyyy解：原方程为：=lndxxxydydu令=u,则=u+xxdxdx2duu+x=ul
26、nudxln(lnu-1)=-ln
27、cx
28、y1+ln=cy.xdyx−y10.=edxdyx−y解：原方程为：=eedxyxe=cedy211=(x+y)dxdydu解：令x+y=u,则=-1dxdxdu2-1=udx1du=dx21+uarctgu=x+carctg(x+y)=x+cdy112.=2dx(x+y)dydu解：令x+y=u,则=-1dxdxdu1-1=2dxuu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.dy2x−y+113.=dxx−2y+1解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=022
29、dxy-d(y-y)-dx+x=c22xy-y+y-x-x=cdyx−y+514:=dxx−y−2解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=01212dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=022322y+4y+x+10x-2xy=c.dy2215:=(x+1)+(4y+1)+8xy+1dxdy2解：原方程为：=（x+4y）+3dxdy1du1令x+4y=u则=-dx4dx41du12-=u+34dx4du2=4u+13dx3u=tg(6x+c)-122tg(6x+c)=(x+4y+1).3xdy16:证明方程=f(xy)
30、,经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx221）y(1+xy)dx=xdy22xdy2+xy2）=22ydx2-xydydu证明：令xy=u,则x+y=dxdxdy1duu则=-，有：2dxxdxxxdu=f(u)+1udx11du=dxu(f(u)+1)x所以原方程可化为变量分离方程。dy1duu1）令xy=u则=-(1)2dxxdxxdyy2原方程可化为：=[1+（xy）](2)dxx1duuu2将1代入2式有：-=(1+u)2xdxxx2u=u+2+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则
31、切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：4y0x=x-y=y-xy’000y'y0则x=2x=x-所以xy=c00y'π18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α=。4y11解：由题意得：y’=dy=dxxyxln
32、y
33、=ln
34、xc
35、y=cx.πα=则y=tgαx所以c=1y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx2则：y=kx+c即为所求。常微分方程习
