2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷.pdf

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1、2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（B卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设集合A{}2018，，，，Baa{2

2、A}．则AB的所有元素之和是_________．2．己知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为l，在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q所构成的这域的面积为_________．3．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abcdef是奇数数的概率为_________．4．在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n(3,1)是

3、l的一个法向量，己知数列{}a满n足：对任意正整数n，点(,aa)均在l上．若a6．则aaaaa的值为_________．nn12123455．设，满足tan3，tan5则tan的值为_________．3626．设抛物线Cy:2x的准线与x轴交于点A，过点B()10，作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为7．设fx()是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足f()1，12xf(2)1

4、，则不等式组的解集为_________．1()fx2zzzz，z，z满足1238．己知复数123z1z2z31，z1z2z31．其中r是给定实数，则zzz231的实部是_________．（用含有r的式子表示）．二、解答题：本大题共3小题．满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．a：a7，an120189．（本题满分16分）己知数列{}n1ann2,1,2,3,，2求满足an4的an最小正整数n．10．（本题满分20分）己知定义在R+上的函数fx为

5、logxx1

6、,003f

7、x=4x,x9设a,b,c是三个互不相同的实数，满足fa()fb()fc()，求abc的取值范围．11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B与C、D分别是椭圆22xy：1(0)ab的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q是上且位于第一象限的两点，22ab满足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R．证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形．yCRPMQABOxD2018年全国高中数学联合竞赛加试试题（B卷）9一、（本题满分40分）设a,b是实数，函数fx()axb．x

8、证明：存在x0[1,9]，使得fx()02二、（本题满分40分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，边AC的上一点D及BC延长线ADBC上一点E分满足，以AB为直径的圆与线段DE交于一点F．DCCE2证明：B，C，F，D四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）ADFBCE三、（本题满分50分）设集合An{1,2,,}，X，Y均为A的非空设空子集（允许X=Y）．X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX，minY求满足maxX>minY的有序集合对（X,Y）的数目．四、（本题满分50分）给定整数a2.证明：对任意正整数n，存在正整

9、数k，使得连续n个kkk数a1，a2，，an均是合数．2018年全国高中数学联合竞赛一试（B卷〉参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档：其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次结分，不得增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可一参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为个档次，第10、一11小题5分为个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设集合A={2,0,1，剖，B={2α｜α

10、εA｝，贝!JAUB的所有元素之和是一一一·答案：31.解：易知B={4,0,2,16｝，故AUB={0,I,2,4,8,16}.AUB的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.一2.己知因锥的顶点为p，底面半径长λ12，高为I.在四锥底面上取点Q,°使得直线PQ与底面所成角不大于45，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为答案：3作·解：因锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为o.由条件知，一一OP＝tanL.OQP三1，即OQ主1，故所求的区域面积为1f·222-?r·l::3何－OQ一3.将1,2,3,4,5,6随机排成行，记

11、为α，b,c,d,e,f，则αbc+d矿·是奇数的概率为答案：古一一解：当。bc+d旷为奇数时，。be,def必为奇偶，若αbe为奇数，则。，b,c为1,3,5的拌列，d,e,J