三角形全等之截长补短(整理)

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1、三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．二、精讲精练1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC．1.已知：如

2、图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．1.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．1.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE=BD．【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．∵∠ABD

3、是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E＋∠BDE∵BE=BD∴∠E=∠BDE∴∠ABD=2∠E∵∠ABD=2∠C∴∠E=∠C在△ADE和△ADC中∴△ADE≌△ADC（AAS）∴AE=AC∴AC=AB＋BE=AB＋BD　截长法：证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B=∠AFD，BD=FD∵∠B=2∠C∴∠AFD=2∠C∵∠AFD是△DFC的一个外角∴∠AFD=∠C+∠FDC∴∠FDC=∠C∴DF=FC∴BD=FC∴AC=AF+FC=AB+BD1.证明：如图，在CD上截取CF=CB．∵CE平

4、分∠CBD∴∠1=∠2在△CFE和△CBE中∴△CFE≌△CBE（SAS）∴∠CFE=∠B∵∠B=90°∴∠CFE=∠DFE=90°∵∠A=90°∴∠DFE=∠A∵DE平分∠ADC∴∠3=∠4在△DEF和△DEA中∴△DEF≌△DEA（AAS）∴DF=AD∴CD=DF+CF=AD+BC1.证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．∵∠D=∠ABC=90°∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADE中∴△ABG≌△ADE（SAS）∴AG=AE，∠1=∠2∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠2+∠3=45°∴∠1+∠3=45°即∠GAF=45°

5、∴∠GAF=∠EAF在△AGF和△AEF中∴△AGF≌△AEF（SAS）∴GF=EF∵GF=BF+BG∴EF=BF+DE2.证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD，CE为△ABC的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4在△AEO和△AFO中∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠5=∠6∵∠ABC=60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠2+∠3=60°∴∠AOC=180°-60°=120°∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°在△OFC和△ODC中∴△OFC≌△ODC（ASA）∴CF=CD∴AC=AF+FC=AE+C

6、D1.证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F．∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90°∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°∵∠3=∠4∴∠1=∠5在△BAD和△CAF中∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴CE=CF∴CE=BD三角形全等之截长补短每日一题1.（4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．2.（4月29日）如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．求证

7、：AB-AC>PB-PC．3.（4月30日）已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．1.（5月2日）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．求证：AE=BE+DF．【参考答案】1.证明：如图，在线段DC上截取DE=BD，连接AE．∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADE=90°在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（SAS）∴∠B=∠1，AB=AE∵∠B=2∠C∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC的一个外角∴∠1=∠C+∠2∴∠C=∠2∴AE=CE∴CD=CE+

8、ED=AE+BD=AB+BD（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）1.证明