浅析数列中an和sn的关系(学生版)

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1、WORD格式可编辑课题浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，此时通项公式an＝．而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：　　归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的Sn，求an；角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论；角度三：an与Sn的延伸应用．角度一：直观运用已知的S

2、n，求an方法：已知Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…

3、＋nan表示数列{nan}的前n项和．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝D．an＝2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n+1＋3(n∈N*)，则数列的通项公式an＝．3．(2015·天津一中月考)已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝．4．(2015·四川成都树德期中)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a

4、6＝14．(1)求{an}的通项公式；专业技术资料分享WORD格式可编辑(2)若数列{bn}满足：＋＋…＋＝an＋1(n∈N*)，求{bn}的前n项和．二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)：方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去等式中所有Sn与Sn－1，保

5、留项数an，在进行整理求解；1．(2015·广州潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列的通项公式是．2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.方向二：若所求问题是与Sn相关的结论，那么用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn－1，在进行整理求解．专业技术资料分享WORD格式可编辑1．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0

6、(n≥2)，a1＝．(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式．2．(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a－2Snan＋1＝0．(1)求数列{Sn}的通项公式；(2)求证：＋＋…＋＞2(Sn+1－1)．(提示：＞)角度三：an与Sn的延伸应用解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，还需要对an＝关系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换．当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向．方向一：关于双重前n项和此类题目中一般出现“数列{an}的前n项

7、和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn，Tn中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向．但一般是求解最底层的an．1．(2015·湖北武汉质检)设数列{an}的前n现和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．(1)求a1的值；专业技术资料分享WORD格式可编辑(2)求数列{an}的通项公式．2．(2015·安徽滁州期末联考)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，且2Tn＝4Sn－(n2＋n)，n∈N*．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)

8、设bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn＜3．方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{an}”