数列中an及sn的关系

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1、WORD文档可编辑课题浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，此时通项公式an＝．而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：　　归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的Sn，求an；角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论；角度三：an与Sn的延伸应用．角度一：直观运用已知的Sn，求

2、an方法：已知Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…＋nan表示

3、数列{nan}的前n项和．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝D．an＝【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3．当n＝1时，a1＝S1＝1，不满足上式．【答案】C2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n+1＋3(n∈N*)，则数列的通项公式an＝．【解析】当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3；则用已知等式减去上式得(2n－1)

4、·an＝(2n－1)·3n，得an＝3n；当n＝1时，a1＝3，满足上式；故an＝3n．【答案】an＝3n技术资料专业分享WORD文档可编辑3．(2015·天津一中月考)已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝．【解析】由已知得Sn＋1＝2n＋1，则Sn＝2n＋1－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝3，不满足上式；故an＝．【答案】an＝4．(2015·四川成都树德期中)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14．(1)求{a

5、n}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：＋＋…＋＝an＋1(n∈N*)，求{bn}的前n项和．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由a2＋a6＝14，可得a4＝7由a3a5＝45，得(7－d)(7＋d)＝45，解得d＝2或d＝－2(舍)∴an＝a4＋(n－4)d＝7＋2(n－4)，即an＝2n－1．(2)令cn＝，则c1＋c2＋c3＋…＋cn＝an＋1＝2n①当n≥2时，c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＝2(n－1)②由①－②得，cn＝2，当n＝1时，c1＝2，满足上式；则cn＝2(n∈N*)，即＝2，∴bn＝2n＋1，故数列{bn}是

6、首项为4，公比为2得等比数列，∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝2n＋2－4．角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)：方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去等式中所有Sn与Sn－1，保留项数an，在进行整理求解；1．(2015·广州潮州月考)数列{an}的前n项

7、和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列的通项公式是．【解析】当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，得an＋1＝3an；当n＝1时，a2＝3，则a2＝3a1，满足上式；故{an}是首项为1，公比为3得等比数列，∴an＝3n－1．【答案】an＝3n－12．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1．技术资料专业分享WORD文档可编辑(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn．【解】(1)当n≥2

8、时，an＝－4Sn－1＋1，又an＋1＝－4Sn＋1，∴an＋1－an＝－4an，即＝－3(n