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1、1.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。（I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BACBA1B1C1DED-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小3.如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．4.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面
2、，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离．6.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥（III）求二面角的大小。7.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。8.如图3，在正三棱柱中，AB=4,,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE
3、.（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。9.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥（III）求二面角的大小。10.如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：（Ⅰ）直线到平面的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．11．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-
4、ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值参考答案1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而M为侧棱的中点M.解法二:过作的平行线.（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点
5、为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。SABCDMzxy（Ⅰ）设，则，，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴二面角的大小。2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（Ⅱ）作AG⊥
6、BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。.因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法
7、二：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1，0），=（-1，0，c）,故令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，故°，求得于是，，°所以与平面所成的角为30°3、（Ⅰ）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，D
