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1、第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κ。Τ解：已知理想气体的物态方程为pV=nRT,（1）由此易得1⎛∂V⎞nR1α=⎜⎟==,（2）V⎝∂T⎠ppVT1⎛∂p⎞nR1β=⎜⎟==,（3）p⎝∂T⎠pVTV1⎛∂V⎞⎛1⎞⎛nRT⎞1κ=−⎜⎟=−⎜⎟⎜−⎟=.（4）T2V⎝∂p⎠⎝V⎠⎝p⎠pT1.2证明任何一种具有两个独立参量Tp,的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ，根据下述积分求得：ΤlnV=∫(αdT−κTdp)11如果α=,κ=，试求物态方程。TTp解：以
2、T,p为自变量，物质的物态方程为V=VT(,p),其全微分为⎛∂V⎞⎛∂V⎞dV=⎜⎟dT+⎜⎟dp.（1）⎝∂T⎠p⎝∂p⎠T全式除以V，有dV1⎛∂V⎞1⎛∂V⎞=⎜⎟dT+⎜⎟dp.VV⎝∂T⎠pV⎝∂p⎠T根据体胀系数α和等温压缩系数κ的定义，可将上式改写为T1dV=αdT−κdp.（2）TV上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnV=∫(αdT−κTdp).（3）11若α=,κ=，式（3）可表为TTp⎛11⎞lnV=∫⎜dT−dp⎟.（4）⎝Tp⎠选择图示的积分路线，从(,Tp)积分到(T,p)，
3、再积分到（T,p），相应地体000积由V最终变到V，有0VTpln=ln−ln,VTp000即pVpV00==C（常量），TT0或pV=CT.（5）11式（5）就是由所给α=,κ=求得的物态方程。确定常量C需要进一步的TTp实验数据。21.3在�0C和1p下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为n−5−1−7−1�α=4.8510K×和κ=7.810×p.α和κ可近似看作常量，今使铜块加热至10C。TnT问：（a）压强要增加多少p才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加n100p，铜块的体积改变多少？n解：（a）根据1.2题
4、式（2），有dV=αdT−κdp.（1）TV上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为αdp=dT.（2）κT在α和κ可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得Tαp2−p1=(T2−T1).（3）κT将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态(VT,)和终1态(VT,)是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平2衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定
5、值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得−54.8510×p−p=×10=622p.21−7n7.810×因此，将铜块由��0C加热到10C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn（b）1.2题式（4）可改写为∆V=α(T2−T1)−κT(p2−p1).（4）V1将所给数据代入，有3∆V−5−7=4.8510××107.810−××1
6、00V1−4=4.0710.×因此，将铜块由��0C加热至10C，压强由1p增加100p，铜块体积将增加原体nn积的−44.0710×倍。1.4简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数κ数值都很小，在一T定温度范围内可以把α和κ看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可T近似为VT(,p)=VT0(0,01)⎡⎣+α(TT−0)−κTp⎤⎦.解:以T,p为状态参量，物质的物态方程为V=VT(,p).根据习题1.2式（2），有dV=αdT−κdp.（1）TV将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在α和κ可以看作常量的情形下，T有V
7、ln=α(TT−0)−κT(p−p0),（2）V0或VT(,p)=VT(,pe)α(TT−0)−κT(pp−0).（3）00考虑到α和κ的数值很小，将指数函数展开，准确到α和κ的线性项，有TTVT(,p)=VT(0,p0)⎡⎣1+α(TT−0)−κT(p−p0)⎤⎦.（4）如果取p=0，即有0VT(,p)=VT(0,01)⎡⎣+α(TT−0)−κTp⎤⎦.（5）1.5描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力J，物态方程是fJLT(,,)=0实验通常在1p下进行，其体积变化可以忽略。n线胀系数定义为41⎛∂L⎞α=⎜⎟L⎝∂T⎠
8、J等温杨氏模量定义为L⎛∂J⎞Y=⎜⎟A⎝∂L⎠T其中A是金属丝的截面积，一般来说，α和Y是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由Τ降至Τ时，其张力的增加为12∆=−JYAα(T2
