概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案.pdf

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1、第七章假设检验习题7.11．设X1,…,Xn是来自N(µ,1)的样本，考虑如下假设检验问题H0：µ=2vsH1：µ=3，若检验由拒绝域为W={x≥2.6}确定．（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.01，n最小应取多少？（3）证明：当n→∞时，α→0，β→0．解：（1）犯第一类错误的概率为⎧X−µ2.6−2⎫α=P{X∈W

2、H0}=P{X≥2.6

3、µ=2}=P⎨≥=2.68⎬=1−Φ(2.68)=0.0037，⎩1n120⎭犯第二类错误的概率为⎧X−µ2.6−3⎫β=P{X∉W

4、H1}=P{X<2.6

5、µ=3}=P⎨<=−1.79⎬=Φ(−1

6、.79)=0.0367；⎩1n120⎭⎧X−µ2.6−3⎫（2）因β=P{X<2.6

7、µ=3}=P⎨<=−0.4n⎬=Φ(−0.4n)≤0.01，⎩1n1n⎭则Φ(0.4n)≥0.99，0.4n≥2.33，n≥33.93，故n至少为34；⎧X−µ2.6−2⎫（3）α=P{X≥2.6

8、µ=2}=P⎨≥=0.6n⎬=1−Φ(0.6n)→0(n→∞)，⎩1n1n⎭⎧X−µ2.6−3⎫β=P{X<2.6

9、µ=3}=P⎨<=−0.4n⎬=Φ(−0.4n)→0(n→∞)．⎩1n1n⎭2．设X1,…,X10是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题H0：p=0.2vsH1：p=0.4，取拒绝域为

10、W={x≥0.5}，求该检验犯两类错误的概率．10解：因X~b(1,p)，有∑Xi=10X~b(10,p)，i=110kk10−k则α=P{X∈W

11、H0}=P{X≥0.5

12、p=0.2}=P{10X≥5

13、p=0.2}=∑C10⋅0.2⋅0.8=0.0328，k=54kk10−kβ=P{X∉W

14、H1}=P{X<0.5

15、p=0.4}=P{10X<5

16、p=0.4}=∑C10⋅0.4⋅0.6=0.6331．k=03．设X1,…,X16是来自正态总体N(µ,4)的样本，考虑检验问题H0：µ=6vsH1：µ≠6，拒绝域取为W={

17、x−6

18、≥c}，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ=6.5

19、处犯第二类错误的概率．1⎧⎪X−µc⎫⎪解：因α=P{X∈W

20、H0}=P{

21、X−6

22、≥c

23、µ=6}=P⎨≥=2c⎬=2[1−Φ(2c)]=0.05，⎪⎩216216⎪⎭则Φ(2c)=0.975，2c=1.96，故c=0.98；故β=P{X∉W

24、H}=P{

25、X−6

26、<0.98

27、µ=6.5}=P{−1.48

28、µ=6.5}1⎧X−6.5⎫=P⎨−2.96<<0.96⎬=Φ(0.96)−Φ(−2.96)=0.83．⎩216⎭4．设总体为均匀分布U(0,θ)，X1,…,Xn是样本，考虑检验问题H0：θ≥3vsH1：θ<3，拒绝域取为W={x(n)≤2.5}，求检验犯第一类错误的最

29、大值α，若要使得该最大值α不超过0.05，n至少应取多大？n−1nx解：因均匀分布最大顺序统计量X(n)的密度函数为pn(x)=nΙ0

30、H0}=P{X(n)≤2.5

31、θ=3}=∫0ndx=n=n=⎜⎟，333⎝6⎠0n⎛5⎞ln0.05要使得α≤0.05，即⎜⎟≤0.05，n≥=16.43，⎝6⎠ln(5/6)故n至少为17．5．在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时

32、，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6．设X1,…,X20是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题H0：p=0.2vsH1：p≠0.2，2020⎧⎫取拒绝域为W=⎨∑xi≥7或∑xi≤1⎬，⎩i=1i=1⎭（1）求p=0,0.1,0.2,…,0.9,1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p=0.05时犯第二类错误的概率．20⎧20⎫6⎛20⎞k20−k解：（1）因X~b(1,p)，有∑Xi~b(20,p)，势函数g(p)=P⎨∑Xi∈Wp⎬=1−∑⎜⎜⎟⎟p(1−p)，i=1⎩i=1⎭k=2⎝k⎠6

33、⎛20⎞6⎛20⎞k20−kk20−k故g(0)=1−∑⎜⎜⎟⎟×0×1=1，g(0.1)=1−∑⎜⎜⎟⎟×0.1×0.9=0.3941，k=2⎝k⎠k=2⎝k⎠6⎛20⎞6⎛20⎞k20−kk20−kg(0.2)=1−∑⎜⎜⎟⎟×0.2×0.8=0.1559，g(0.3)=1−∑⎜⎜⎟⎟×0.3×0.7=0.3996，k=2⎝k⎠k=2⎝k⎠26⎛20⎞6⎛20⎞k20−kk20−kg(0.4)=1−∑⎜⎜