电阻电路的对称性研究.pdf

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1、上海交通大学基本电路理论课程教学小论文（2007－2008第一学期）电阻电路的对称性研究F06030125060309398李奥博引言:如何能对待具有对称性的电阻电路进行有效求解？如何能快速有效的对具有特殊对称性质的电阻网络进行求解？有没有什么规律可寻？想法:通过分析例题来寻找一下解决此类问题的途径。例题剖析:一、有限网络1、利用对称性:对称性一直是一个良好的工具,虽然不是万能的,但是电阻网络一旦具有对称性,或者某种程度上具有对称特征,我们就可以考虑根据电路的对称性进行一些简化.所谓简化是以巧妙但是系统的方法解决问题.我们对待电阻电路有很多方法,但是对称性应用.它的效果是使计算得以简化

2、，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法等来完成。下面对几种情况进行具体分析.在我们要求解的复杂电路中,我们需要做的首先要寻找等势点(对解决复杂具有局部对称性电阻电路重要方法),这些等势点之间导线连接也不会有电流,把连接点断开也不会对电路有任何影响,所以,我们可以对电路进行局部修改,可以是复杂电路可能转变成简单电路,应用简单的串并连解决问题.1如图(1a),正方体支架,每条边电阻均相等为1欧姆,求AG间,电阻.分析:.假设电流从A点流入，G点流出，则由对称很容易发现，DBE三点的位置相对此电流流向是对称的，所以电势相等，故可用导线连接为一点，同理，CHF三点的电势也

3、相等。故此电路图可以简化如图1（b）。则有由简单的串并连求得R=5/6上海交通大学基本电路理论课程教学小论文（2007－2008第一学期）2如下图（2）每条黑线边电阻均为R，求AB之间的电阻。分析：根据整个图（2）a的网络图，可以知道，如果AB间通以电流，则AB所在相对正方形（水平）上下两部分的电流流入流出具有对称性，故可以将此立体图上下压缩为平面图如图（2）b所示。从图（2）b可以看出来，从A点流入中心点的电流应该等于从中心点流向B的电流。则相当于中心点延伸的4条支路中其余2个不参与，故又可以重新等效电路如图（2）c。则此电路到C情况十可以转换成简单的串并连求解了，为r（AB）=5R

4、/12。此题给了我们一个启发，我们可以对具有对称性的电路（相对来讲的），我们可以沿对称线进行翻折电路，对应电阻减半（因为相当与等值电阻并联）。下面就此举一个简单的例子。如图3（a）每条边电阻均为R，则求AB间等效电阻。上海交通大学基本电路理论课程教学小论文（2007－2008第一学期）分析：由上题最后得出思路，发现AB连线对本题来讲把电路分为完全对称的2个部分。则，可以沿AB进行翻折。电阻均减半。如图（3）b所示。则很容易求出AB间电阻为r（AB）=3R/2二、无限网络1面型无限网络对于无限网络，尤其是对称型的无限网络有各个方向的对称性。我们正是要应用这些对称的性质来解决问题。下面是来

5、自《电路基础》中我们遇到的2个关于无限网络的习题。1如图4（a）所示，每条边上均有相同电阻为R，且次网络为无限网络伸向无穷远接地，AB间的等效电阻。解决这个问题的时候，我们想，既然无法直接计算AB间电阻，所以我们需要借助其他方法求解。比如在AB间加一个恒流源，如果能求得AB间电压，则由U/I便可以求得R。但是如果单纯在AB间直接加一个电流源，那样将破坏电路的对称性，使电流不具有我们想得到的均匀分布性。所以我们考虑叠加定理，对于无限网络，我们可以考虑电流从A流向无穷远，再由无穷远流回B，这就相当于2个同样的电流源作用后叠加。如图（3）b所示，假设电流I，从A点流入，流向无穷远，则通过A点

6、周围的4条电阻线的电流由对称性可以知道是I/4，即AB间在A流向无穷远的时候电流为I/4。然后电流I再从无穷远流回B点，则AB间电流流回时也为I/4。故，总共有I/2的电流流过AB。所上海交通大学基本电路理论课程教学小论文（2007－2008第一学期）以U=R*I/2。故r(AB)=U/I=R/2.得解。正是由于是无限对称网络，所以可以通过通电流流向无穷远再由无穷远流回而求得。而对于有限网络这样显然是不可以的。我们可以用完全相同的求法很快求得下图6边形网络的任意2点见电阻。具体求解略去。213f4c9abg5de8672题图如上题一样，但是AB间电阻改为1/3。本问题有了第一题的基础容

7、易很多，其实我们可以把1/3看成是1与1/2的并联，则由1可以知，电路话简为1/2与1/2的并联，为1/4。得解。所以，我们遇到类似问题的时候应该想办法尽可能构造对称电路，可以方便解决问题。结论:我们对待电阻电路问题的时候一定要仔细分析，能否利用对称性质化为简单的串并联求解而不是繁杂的列写结点或者网孔方程。要将对称性质和等势紧密联系起来灵活运用其性质，才可以灵活解决问题。感想:对待具有特殊性质的问题，无论是生活或者学习中，我们要积累经验，寻找更