概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案.pdf

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1、概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X的分布函数为0,x1,0.2,1x2,F(x)P(Xx)0.7,2x4,1,x4．求X的分布律．解：P(Xx)F(x)F(x0)，000P(X1)F(1)F(10)0.200.2，P(X2)F(2)F(20)0.70.20.5，P(X4)F(4)F(40)10.70.3，X的分布律为X124P0.20.50.32k2．设P(Xk)a()，k1,2,

2、，问a取何值时才能成为随机变量X的分布律．322n[1()]2k33解：由规范性，1a()alim2a，3n2k1131a，212k此时，P(Xk)()，k1,2,．233．设离散型随机变量X的分布律为X112P0.20.50.311求：(1)X的分布函数；(2)P(X)；(3)P(1X3)．2解：(1)x1时，F(x)P(Xx)0，1x1时，F(x)P(Xx)P(X1)0.2，1x2时，F(x)P(Xx)P(X1)

3、P(X1)0.7，x2时，F(x)P(Xx)P(X1)P(X1)P(X2)1，X的分布函数为0,x1,0.2,1x1,F(x)．0.7,1x2,1,x2．1(2)方法1：P(X)P(X1)P(X2)0.8．2111方法2：P(X)1P(X)1F()10.20.8．222(3)方法1：P(1X3)P(X1)P(X1)P(X2)1．方法2：P(1X3)F(3)F(10)101．4．

4、一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X记这两种新药的年销售额，求X的分布律．解：设A{第i组取得成功}，i1,2，i由题可知，A，A相互独立，且P(A)P(A)0.4．1212两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：AA，AA，AA，121212AA，相对应的X的值为100000、40000、60000、0，则12P(X10000

5、0)P(AA)P(A)P(A)0.16，1212P(X40000)P(AA)P(A)P(A)0.24，1212P(X60000)P(AA)P(A)P(A)0.24，12122P(X0)P(AA)P(A)P(A)0.36，1212X的分布律为X100000060000400000P0.160.240.240.365．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p，直到射中为止，求：(1)射击次数X的分布律；(2)脱靶次数Y的分布律．解：(1)由题设，X所有可能的取值为1，2，…，k，…

6、，设A{射击时在第k次命中目标}，则k{Xk}AAAA，12k1kk1于是P(Xk)p(1p)，k1所以X的分布律为P(Xk)p(1p)，k1,2,．(2)Y的所有可能取值为0，1，2，…，k，…，于是k1Y的分布律为P(Yk)p(1p)，k0,1,2,．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p，0p1，以X表示直至两个面都出现时的试验次数，求X的分布律．解：X所有可能的取值为2，3，…，设A{k次试验中出现k1次正面，1次反面}，B{k次试验中出现k

7、1次反面，1次正面}，由题知，{Xk}AB，AB，则k1k1P(A)p(1p)，P(B)(1p)p，k1k1P(Xk)P(AB)P(A)P(B)p(1p)(1p)p，于是，X的分布律为k1k1P(Xk)p(1p)(1p)p，k2,3,．7．随机变量X服从泊松分布，且P(X1)P(X2)，求P(X4)及P(X1)．3解：P(X1)P(X2)，2ee，22或0(舍去)，42222P(X4)ee．4

8、!3P(X1)1P(X1)1P(X0)P(X1)2221e2e13e．8．设随机变量X的分布函数为x1(1x)e,x0,F(x)0,x0．求：(1)X的概率密度；(2)P(X2)．xxe,x0,解：(1)f(x)F(x)；0,x0．2(2)P(X2)F(2)13e．9．设随机变量X的概率密度为Af(x)，xxee