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时间:2018-11-06
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1、简论初中数学解题过程中的“漏根”“漏值”问题 摘要:在中考数学中预设陷阱已经不鲜见,考生也频频掉进陷阱,出题教师屡试不爽。其中,一题多解(根)问题就是其中一种题型,出题教师预设了让考试“漏根”“漏值”的陷阱,考生常常掉入陷阱,为了让教师及学生重视此题型,我对初中阶段常出现“漏根”“漏值”的几种情况进行了总结。 关键词:初中数学;漏根;漏值 一题多解问题是中学数学中的一种经典题型,是每次大考必出的题型。中学数学考试中没有多项选择题,而一题多解(根)问题其实就是多项选择题的变形,是多项选择题的有效补充。由于学生在分析一题多解(根)问题时对题目全局没有考虑透彻,导致“漏根”“漏值”。通
2、过反思、总结,我认为在初中阶段主要有以下几个“点”会出现“漏根”“漏值”问题: 一、绝对值中的“漏根”“漏值”问题 此类问题关键点是某数绝对值为一个正数,则满足条件是解有两个,且互为相反数。即
3、x
4、=a则x=±a。 例1若
5、x
6、=5,则x的值为:_______。 分析:这个题目有同学在做的过程中只考虑-5这个值,而漏了+5这个值,主要原因是对绝对值性质没有全面理解而造成的,我们在平时的教学和学习中只要对绝对值的性质全面理解该问题就能迎刃而解。 例2在数轴上与表示“1”的点距离为3的点表示的数为:_______。6 分析:本题型其实也是对绝对值的性质理解的问题,由于距离无方向
7、,这样的点在1的左右两边各有一个,所以这样的点共有2个,而部分学生只考虑到1的右边这一点,而漏掉左边这一点,导致“漏根”“漏值”。如图可见,在1的左右各有一点分别为:-2和4。 二、圆中的“漏根”“漏值”问题 在圆中出现“漏根”“漏值”的情况比较多,主要是因为直线与圆、圆与圆的位置关系、圆周角等的多样性,导致“根”和“值”的多样性,如果对题目的把握没有总体观念,或总体观念不强,均会造成“漏根”、“漏值”。 1.同弦所对的圆周角中的“漏根”“漏值”情况。 同弦所对的圆周角分两种情况,在弦同侧及异侧(因为圆中一条弦把圆分成两段弧,每段弧都对着一个圆周角),它们是一组互补的角。 例
8、3在⊙O中,弦AB所对的圆心角为120°,则弦AB所对的圆周角为:_______。 分析:如图,大多数时候考生在解此题时只考虑到∠C,而忽略了∠D,导致“漏根”“漏值”。 2.两圆相切求圆心距的“漏根”“漏值”问题。 由于两圆相切分两种情况:外切与内切。而考生经常只考虑到其中一种。 例4已知⊙O与⊙O′相切,它们的半径分别为3和6,则的圆心距为:_______。 分析:如图两圆相切分外切和内切两种情况:6 情况一:两圆外切时,圆心距为两圆半径之和,此时圆心距为3+6=9。 情况二:两圆内切时,圆心距为两圆半径之差,此时圆心距为:6-3=3。 综上所述,⊙O与⊙O′的圆心
9、距为9或3。此类题主要注意两圆相切分为相内切和相外切,如果题目没有指明是相外切还是相内切,一定要将两种都考虑进去,否则就会出现“漏根”“漏值”。 3.在同圆中求两条平行弦间的距离时的“漏根”“漏值”问题。 此类题型其主要分两条平行弦是在圆心同侧还是在圆心异侧两种情况,而考生经常只考虑其中一种情况。 例5已知⊙O的两条平行弦长分别为6和8,圆的半径为5,求两弦的距离。 分析:圆中两条弦平行分两种情况: 情况一:当两平行弦在圆心同侧时过点O作AB弦与CD弦的垂线,通过垂径定理及勾股定理可求得两弦的距离为:1。 情况二:当两平行弦在圆心异侧时过点O作AB弦与CD弦的垂线,通过垂径
10、定理及勾股定理可求得两弦的距离为:7。 此类型题在题目未给定两平行弦是否是在圆心的同侧或异侧,一定将两种情况均考虑进去,避免“漏根”、“漏值”。 4.圆中的其他“漏根”“漏值”情况。 已知一点到圆周的最长与最短距离求直径的“漏根”“漏值”情况。当已知点未给定在圆内还是圆外,需将两种情况均考虑进去。 例6已知点A到的最长距离及最短距离分别为6和2,求的直径。6 分析:由于点A未给定是在圆内还是在圆外,所以必须对点A分在圆内和圆外来考虑,否则将会出现“漏根”“漏值”情况。 对点A的位置进行分类后,易知⊙O的直径为:4或8。 已知圆半径及公共弦长,求圆心距时的“漏根”、“漏值”
11、情况,此类题型主要注意是否指明两圆心是在公共弦的同侧及异侧,否则必须分两种情况进行考虑,不然就会出现“漏根”、“漏值”情况。 例7已知两圆半径分别为6和8,公共弦长为10,求两圆的圆心距。 分析:本题没有指明圆心是在公共弦的同侧还是异侧,必须将两种情况考虑进去,而考试常常只考虑一种情况导致“漏根”“漏值”情况的发生。 本题分类后利用勾股定理不难得出结果。 三、三角形中的“漏根”“漏值”情况。 三角形中会出现“漏根”“漏值”的题型常见的
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