几个常见函数的导数1

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1、几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min一.知识点：知识点一　几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－f(x)＝f′(x)＝知识点二　基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0)f(x)＝exf′(x)

2、＝exf(x)＝logaxf′(x)＝(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝二.典例分析：题型一　利用导数公式求出函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin2.解　(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝()′＝(x)′＝＝；(5)y′＝(log3x)′＝；(6)y＝1－2sin2＝cosx，y′＝(cosx)′＝－sinx.反思与感悟　若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或

3、变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．题型二　利用导数公式解决切线有关问题例2　(1)已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．答案　(1，－4)解析　y′＝x，kPA＝y′

4、x＝4＝4，kQA＝y′

5、x＝－2＝－2.∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，联立方程组得∴A(1，－4)．(2)已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使

6、在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解　设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′

7、＝cosx0，k2＝y′

8、＝－sinx0，要使两切线垂直，必须k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．反思与感悟　1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的

9、三个步骤题型三　利用导数公式求最值问题例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．解　设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，∴切点坐标为(，)，∴所求的最短距离d＝＝.反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．三.课堂小结：1．利用常

10、见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．精练部分：年级：高三科目：数学类型:同步难易程度：易建议用时：随堂练习10-15min课后作业30min四.随堂练习：一、选择题1．下列各式中正确的个数是(　　)①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③()′＝－x－；

11、④()′＝x－；⑤(cosx)′＝－sinx；⑥(cos2)′＝－sin2.A．3B．4C．5D．6答案　B2．已知过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)A.B.或C.D.答案　B解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)A．4B．－4C．5D．－5答案　A解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(　　)A．4B．－4C．28D．－28答案　C解析　∵点(2,8)在切