二次函数的图象和性质-培优教案

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1、二次函数的图象和性质（培优教案）一．课前训练1．已知抛物线上一部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示，则下列说法中正确的是。（填写序号）…－2－1012……04664…yxO①抛物线与轴的一个交点为；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴的左侧，随的增大而增大。2．若二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的个数是()①；②；③；④。A.1B.2C.3D.4二．知识结构三．题型讲练例1．已知抛物线。⑴写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标；⑵当为何值时，抛物线的顶点在轴上方；⑶过抛物线与轴的交点作直线轴，交抛物线于另一

2、点，当时，求此抛物线的解析式。分析：⑴考察配方法；⑵欲使抛物线顶点在轴上方，必使顶点纵坐标为正；⑶由直线轴可知两点的纵坐标相等，进而可以求出值。【解】⑴∵在中，二次项系数，∴开口向上，∵∴对称轴是直线，顶点坐标为。⑵∵欲使抛物线的顶点在轴上方，必使顶点的纵坐标为正数，∴令，则，此时抛物线的顶点在轴上方⑶令，则，∴抛物线与轴交于点∵直线轴，∴。令，则，解得，，∴∴在中，，，∵，∴，∴∴抛物线的解析式为或。7练习：1．右图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，则下列结论中正确的是（填写序号）。①；②；③；④2．若抛物线与轴的一个交点的坐

3、标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标为。3．如图，抛物线经过点，与轴交于两点。⑴求的值；⑵如图①，设点为该抛物线在轴上方的一点，若直线将四边形的面积二等分，试证明线段被直线平分并求此时直线的函数解析式；⑶设点是该抛物线在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点使得？若存在，请举例验证你的猜想；若不存在，请说明理由。（图②供选用）【解】⑴∵抛物线经过点，∴，∴。⑵作于点，作于点，设与交于点∵直线将四边形的面积二等分，∴，即，∴∵，，∴，∴，∴线段被直线平分∵由⑴知，∴抛物线的解析式为∴令，则，∴，，∴∵，∴点是线段的中点，∴，，

4、∴设直线的解析式为，∵直线经过点和点∴，∴直线的解析式为⑶存在。设抛物线的顶点为，∵在中，∴以点为圆心、为半径作圆，与抛物线在轴的上方一定有交点（即点），连接，再作的平分线7，交抛物线于点，连接，此时由得。例2．已知抛物线与轴交于两点，其中且，与轴交于点。⑴求抛物线的解析式；⑵能否找到直线与抛物线交于两点且使轴恰好平分的面积？若能，求出满足的条件；若不能，说明理由。【解】⑴令，则有，∵∴对于一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，∵由根与系数的关系得…①，…②∴把①代入得…③，把③代入得…④，把③、④代入得化简整理得，解得，。当时，，与

5、相符；当时，，与不符(舍去)∴抛物线的解析式为。⑵能，理由如下（如图）：假设符合题意的直线与轴交于点，∵，即，∴∵由题意知两点必在轴的两侧，∴，即∵由得……（*）∴一定是方程(*)的两根，∴，∴∵直线与抛物线有两个交点∴，即，解得∴且为所求。练习：1．已知抛物线与轴分别交于两点(其中)，则下列结论中正确的是（只需填写序号）。①当时，；②当时，；③方程有两个不相等的实数根；④，；⑤。2．已知直线与轴交于点，与轴交于点；另一条抛物线的解析式为。⑴若该抛物线经过点且抛物线的顶点在直线上，试确定抛物线的解析式；⑵过点作直线，交轴于点，若抛

6、物线的对称轴经过点，试确定直线的解析式。7例3．如图，直线与抛物线交于点和点（点在轴上），点是抛物线的顶点。⑴求的值及抛物线的解析式；⑵过线段上的动点（与不重合）作轴的垂线，与抛物线交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；⑶设点是直线与抛物线对称轴的交点，则在线段上是否存在一点使得四边形是平行四边形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由。【解】⑴∵点在直线上∴，∴，∴有直线∵点是抛物线的顶点∴设所求抛物线的解析式为∵点在抛物线上∴，∴，∴所求抛物线的解析式为⑵设两点的纵坐标分别为和，

7、则：（其中）⑶存在，理由如下：∵，∴欲使四边形是平行四边形，必使∵点在直线上且，∴令，则∴，∴，∴∴令，即，解得(不合题意，舍去)，∵点在直线上，∴令，则，∴∴当点的坐标为时，四边形是平行四边形。练习：1．已知抛物线。⑴若抛物线与轴的交点分别在原点的两侧且，求的值；⑵设抛物线与轴交于点，若抛物线上存在关于原点对称的两点使得的面积等于，求的值。解:⑴设两点的坐标分别为、，则分别是方程的两根。∴由根与系数的关系知，∵两点分别在原点两侧，∴，即，∴∵∴，解得，(与矛盾，舍去)∴的值为。⑵∵两点关于原点对称∴设两点的坐标分别为∵两点都在抛

8、物线上∴∴①＋②：，∴∴当时才存在满足条件的两点，∴∴两点到轴的距离均为∴两点之间的水平距离为∵令，则，∴点的坐标为，∴7∵∴，解得2．已知抛物线恰好经过轴正半轴上的两点(点在点的左侧)且与轴交于点。⑴的符号之间有何关系？⑵若线段的长度是线段长度的