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1、第3章暋衍射积分的快速傅里叶变换计算在第2章,我们基于标量衍射理论推导出了严格满足亥姆霍兹方程的角谱衍射公式及其傍轴近似———菲涅耳衍射积分;并且指出,理论上还存在严格满足亥姆霍兹方程的基尔霍夫公[1][2]式及瑞利索末菲公式.为便于叙述,以上4种衍射计算公式统一称为经典衍射计算公式.[2-4]对经典的衍射公式研究表明,它们均能用傅里叶变换表示,从而通过傅里叶变换求解.但是,对于实际给定的衍射问题,能够直接从傅里叶变换求出解析表达式的函数非常有限,在研究实际问题时,不得不将函数按一定规律在二维空间进行取样及延拓,变成该函数的周期离散分布作离散傅里叶变换.然而,离散
2、傅里叶变换的计算仍然十分繁杂,如果没有计算机,事实上[5]很难完成一个可以解决实际问题的计算工作.1965年,由库利图基(Cooley灢Tukey)提出的快速傅里叶变换技术(thefastFouriertransform,FFT)彻底改变了这种状况,计算机的普及应用为这种快速计算方法的推广创造了良好的条件.因此,利用快速傅里叶变换技术计算衍射的方法逐渐被广泛采用.本章首先介绍离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系,然后,基于离散傅里叶变换的基本理论及取样定理,对经典衍射积分的快速傅里叶变换计算方法进行研究.由于柯林斯公式也可以表示成傅里叶变换的形式,其计算方法可以推广到
3、柯林斯公式的计算.本章的所有计算均能通过附录A中的MATLAB程序LIM1.m及LIM2.m实现.3.1暋离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系3.1.1暋空域连续函数的离散及延拓[6-8]函数作二维离散傅里叶变换时,要求被变换函数是二维空间的周期离散函数.由于实际需要作傅里叶变换的函数通常是在空域无限大平面上均有定义的连续函数,必须将函数截断在有限的区域进行取样及延拓.图3灢1灢1给出二维空域连续函数的离散及延拓示意图.图3灢1灢1暋空域连续函数的离散及延拓·46·信息光学教程暋暋图中,左上方灰色图像给出一连续函数的分布区域.对连续函数通常的取样方法是,先将函数的主要
4、部分通过坐标变换放在第一象限,并沿平行于坐标轴的方向将函数截断在一个Lx暳Ly的矩形区域内;然后,取样周期为Tx=Lx/Nx,Ty=Ly/Ny,从坐标原点开始将函数离散为Nx暳Ny个点的二维离散分布值.图3灢1灢1(a)、(b)描述了上述过程(图中用黑点标注取样点落在函数定义区域上的位置,用小圆圈表示取样为零的位置),图3灢1灢1(c)是二维周期延拓结果.3.1.2暋离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系很明显,函数经截断及离散处理后无论在空域及频域均会引入误差.现以x方向的傅里叶变换为例进行研究,以后再将结果推广到二维空间.图3灢1灢2表示对于某一给定的y,函数沿x方
5、向进行离散傅里叶变换的过程.图中,左边为一列空域的原函数图像,右边一列图像是它们的频谱的模,符号Û表示它们为傅里叶变换对.例如,图3灢1灢2(a1)为空域的原函数g(x,y),图3灢1灢2(a2)为它的频谱G(fx,y)的模½G(fx,y)½.对未经截断函数的取样,等于用图3灢1灢2(b1)的梳状函数毮T(x)乘以图3灢1灢2(a1)的原函x[7,8]数,数学表达式为曓gT(x,y)=g(x,y)毮T(x)=g(x,y)毮(x-nTx)(3灢1灢1)xx暺n=-曓暋暋由于梳状函数毮T(x)为周期Tx的毮函数,可以表示为傅里叶级数x曓曓æ2毿ö毮T(x)=毮(t-n
6、Tx)=Akexpçjkx÷x暺暺Tèxøn=-曓k=-曓T/21xæ2毿ö1式中,j=-1,Ak=毮T(x)expç-jkx÷dx=.于是T曇x-T/2xèTxøTxx曓1æ2毿ögT(x,y)=g(x,y)expçjkx÷x暺TTxk=-曓èxø曓1æ2毿ö暋暋上式表明,取样信号已经不是原信号,而是无穷多个截波信号暺expçjkx÷被信Txk=-曓èTxø号g(x,y)调制的结果[图3灢1灢2(c1)].现在,通过傅里叶变换来考察信号经取样后的频谱与原信号频谱的关系.对上式作傅里叶变换得曓GT(fx,y)=gT(x,y)exp(-j2毿fxx)dxx曇x-曓曓
7、曓1æ2毿ö=曇g(x,y)暺expçjkx÷exp(-j2毿fxx)dx-曓Txk=-曓èTxø曓曓1ææköö=g(x,y)expç-j2毿çf÷t÷dx暺曇èèx-TøøTxk=-曓-曓x曓1ækö=暺Gçfx-,y÷(3灢1灢2)Txk=-曓èTxø结果表明,在取样信号频谱GT(fx,y)中除了包含原信号频谱G(fx,y)外,还包含了无穷多x个被延拓的频谱,延拓的周期为1/Tx[图3灢1灢2(c2)].并且,由于原函数的频谱宽度大于延拓的周期1/Tx,相邻的频谱曲线产生了混叠.第3章暋衍射积分的快速傅里叶变换计算·47·图3灢1灢2暋函数的离散傅里叶变换过
8、程根据傅里
