时间序列分析部分讲义中国科学研究院安鸿志

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1、时间序列分析(J.D.Hamilton)前言:3.平稳ARMA过程(p49-78),6.谱分析(p180-202),11.向量自回归(p345-409),21.异方差时间序列模型(p799-823).3.平稳ARMA过程3.0概述(认识论,方法论,历史观,发展观)什么是”回归模型”?什么是”自回归模型”?它们有什么联系?为什么用”回归”一词?它们的推广模型是什么?它们的应用背景是什么?*考虑”父-子身高的关系”X---父亲的身高,Y---儿子的身高,它们有关系吗?有什么样的关系呢?不是确定的关系!又不是没有关系!在同族中抽取n对父-子的身高,即有n对数据:2

2、3(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn).Yk~a+bXk,1£k£n.Yk=a+bXk+ek,1£k£n.(0.1)*此为一元线性回归模型.ek---个体差异,其他因素,等等.*如果,如果能记录到一个父系的长子身高序列,即X1,X2,…,Xn,显然,(X1,X2),(X2,X3),…,(Xn-1,Xn)是(n-1)对父--子身高数据,与(Xk,Yk)相比,这里的Yk=Xk+1,k=1,2,…,n-1.依同样论述有Xk+1=a+bXk+ek,1£k£n.(0.2)*此为一元线性自回归模型(自变元Yk是因变元Xk的延迟)*回归¬英文翻译¬Regre

3、ssion¬(0.2),具体说来如下:m--男人平均身高.由(0.2)得Xk+1-m=a+bXk+ek-m(注意m=(b-1)m+bm)=a+(b-1)m+b(Xk-m)+ek.Wk=(Xk-m)---第k代长子身高与平均身高之差,c=a+(b-1)m,于是有Wk+1=c+bWk+ek.(0.3)特别人们发现:0

4、(0.1)式应推广为:Yk=a+b1X1k+…+bpXpk+ek,1£k£n.(0.4)*此为p元线性回归模型.*向非线性推广:仍以父-子身高的关系为例,它们的真实关系应是比(0.1)式更一般的形式:Yk=j(Xk)+ek,1£k£n.(0.5)(0.4)式更一般的形式:Yk=j(X1k,…,Xpk)+ek,1£k£n.(0.6)近年来,又引出了比(0.6)式更广的模型:Yk=j(X1k,…,Xpk)+s(X1k,…,Xpk)ek,1£k£n.(0.7)*此为异方差回归模型.(0.7)式的更一般的形式:Yk=y(X1k,…,Xpk;ek),1£k£n.(0.

5、8)23模型越复杂,越近似真实情况,也越难统计分析.*应用背景:非常广泛!主要用于预报,控制,检测,管理.模型的获得方法有两类.3.1期望,平稳性,遍历性:确切说,是对(0.1)至(0.8)式中{ek}的最起码的假定,根据这些假定就可以引出随机过程和各种模型概念,用它们近似描述{ek}(本来是说不清的).而且,对这些起码的假定,也只是以最直观的方式,而非严格的概率论观点,加以介绍.*期望和随机过程*随机过程:{X(t);-¥

6、Xk}是过程{X(t)}的等间隔采样序列.回忆随机变量X和它的样本的定义,我们有:*样本序列:{…,x-1,x0,x1,…}是序列{Xk}的一个样本序列,又称为一个实现,又称为一个观测序列,等等.请注意:随机变量X的一个样本,就是一个数;随机向量X的一个样本,就是一个向量数;随机序列{Xk}的一个样本,是一个无穷数列;在实际应用中,23我们无法记录无穷数列,从而在讨论随机序列{Xk}的样本时,只能考虑一个样本的有限部分,比如{x1,x2,…,xn}是序列{Xk}的一段观测值序列.在理论讨论时,为了方便又不得不涉及无穷数列.这些都是学习和掌握时间序列分析时,首

7、先要认清的起点.**序列的分布:回忆随机变量X的定义便知,它的特征被它的概率分布所确定.同样,随机序列也被它的概率分布所确定.不过,随机序列的分布是无穷个随机变量的概率分布,其复杂性可以想得到.这里为了避免涉及太深的概率论概念,我们仅考虑最简单的特疏情况,即Xk~N(mk,s2k),它有密度fk(x)=(2ps2k)-1/2exp{(x-mk)2/2s2k}而且(Xk+1,Xk+2,…,Xk+m)有联合正态分布.于是有:*期望(均值):EXk=òxfk(x)dx=mk,*方差:Var(Xk)=E(Xk-mk)2=ò(x-mk)2fk(x)dx=s2k.*自协

8、方差:gkj=E[(Xk-mk)(Xj-mj)]=ò