电磁学(赵凯华)答案解析[第6章麦克斯韦电磁理论]

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1、1　一平行板电容器的两极板都是半径为的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为：。试求：（1）两极板间的位移电流；（2）极板边缘的磁感应强度。　　　　　　　　　　  解:（1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度的方向水平向右（电位移矢量的方向与的方向相同）。因电容器中为真空，故。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。已知圆板的面积，故穿过该面积的的通量为由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为　　　　　　　　　　　　　因，所以的方向与的方向相同，即位移电流的方向与的方向相同。（2）

2、由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为的圆，其上的大小相等，选积分方向与方向一致，则由安培环路定理可得 （全电流）因在电容器内传导电流，位移电流为，则全电流为所以极板边缘的磁感应强度为根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度的方向，如图所示。2一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即。试求：（1）电容器中的位移电流密度的大小；（2

3、）设为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布。解:（1）由题意可知，，对于平行板电容器电位移矢量的大小为所以，位移电流密度的大小为（2）由于电容器内无传导电流，故。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设为圆板中心到场点的距离，并以为半径做圆周路径。根据全电流安培环路定理可知通过所围面积的位移电流为所以　.　最后可得　　3.如图（a）所示，用二面积为的大圆盘组成一间距为的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流充电，试求：（1）此电容器中位移电流

4、密度；（2）如图（b）所示，电容器中点的磁感应强度；（3）证明在此电容器中从半径为﹑厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。　　　解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电流密度的方向应如图（c）所示，其大小为通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求：因为　由于，　因此　　所以（2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场也呈轴对称，显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。根据全电流安培环路定理，将用于此线上，有　

5、　　　　　　　　　　　　　得　　所以（3）在电容器中作半径为﹑厚度为的圆柱体，如图（d）所示。由坡印廷矢量分析可知，垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。在单位时间内流入的能量为因为　　　　　所以　　　由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为　　　　　　　　　　　　　　显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。4如图所示，已知电路中直流电源

6、的电动势为﹑电阻，电容器的电容，试求：（1）接通电源瞬时电容器极板间的位移电流；（2）时，电容器极板间的位移电流；（3）位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数后电流小到可忽略不计）　　　　　　　　　　　　　　　　　　解:对串联电路的暂态过程有求解该方程得：　　　　　　，表示极板上的电荷量是随时间变化。在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为　　　　　　　　　　　　　对应不同的情况，可求得（1）在接通电源的瞬时，电容器极板间的位移电流。（2）当时，（3）在时可认为电流忽略不计，即。所以5一球形电容器

7、，其内导体半径为，外导体半径为，两极板之间充有相对介电常数为的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为，假设不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为的球面的位移电流。解:设电容器极板上带有电荷，由位移电流密度公式可知由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为 （为径向单位向量）球形电容器极板间的电势差为与上式联立，消去，得　　所以位移电流密度为在电容器中，作半径为的球面，通过它的位移电流为　　　　　　　　　 的流向沿径向，且随时间变化。6如图

8、所示，电荷以速度向点运动（到点的距离以表示）。在点处作一半径为的圆，圆面与垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度。　　　　　　　　　　　　　　解:电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设时间穿过圆面上的电位移通量为为使计算简便，可以为球心，为半径，为小圆半径的