线性代数分析总结汇总+经典例题

《线性代数分析总结汇总+经典例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、

2、线性代数知识点总结1行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副

3、对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

4、数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）

5、kA

6、=kn

7、A

8、（2）

9、AB

10、=

11、A

12、·

13、B

14、（3）

15、AT

16、=

17、A

18、（4）

19、A-1

20、=

21、A

22、-1（5）

23、A*

24、=

25、A

26、n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似

27、，则

28、A

29、=

30、B

31、（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

32、（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=kAT（3）（

33、AB）T=BTAT（4）

34、A

35、T=

36、A

37、（5）（AT）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是

38、A

39、≠04、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)（2）（AB）-1=B-1·A-1（3）

40、A-1

41、=

42、A

43、-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A

44、5、逆的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A为数字矩阵：（A

45、E）→初等行变换→（E

46、A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k加

47、到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O（2）r（An×n）=n（满秩）←→

48、A

49、≠0←→A可逆；r（A）＜n←→

50、A

51、=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0

52、。10、秩的性质：（7条）（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）（2）r（A±B）≤r（A）±（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n

53、11、秩的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8条）（1）AA*=A*

54、A=

55、A

56、E→★A*=

57、A

58、A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）

59、A*

60、=

61、A

62、n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A

63、A

64、-1（7）（A*）*=

65、A

66、n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3向量（一