三角函数图像和性质知识点总结和经典题型

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1、函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3．对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；无对称轴，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。4．函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。y＝Asin(ωx＋φ

2、)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.5.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩　　的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．6．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数

3、式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。7．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.8．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。9.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于

4、∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(

5、t

6、≤1).三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋

7、2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．（全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。题型2：三角函数图象的变换（四川）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（

8、A）（B）（C）（D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.题型3：三角函数图象的应用例1：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．求f(x)的解析式；解：由图可知A＝2，＝，则＝4×∴ω＝.又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0∴sin(φ－)＝0∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝∴f(x)＝2sin(x＋)．例2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，

9、则φ＝________.解析：由图可知，＝2π－π，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，∴y＝sin(x＋φ)．又∵sin(×π＋φ)＝－1，∴sin(π＋φ)＝－1，∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ<π，∴φ＝π.答案：π例3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，

10、φ

11、<π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知T＝2(－)＝π.∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×＋φ＝，φ