2013年北京一模数学代数几何综合题汇编答案

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1、2013年北京一弄数学代数几何综合题汇编25．（西城区）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与轴、轴分别交于点A和点B(0,-1)，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4,n)．(1)求的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0

2、．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．图1图225．解：（1）∵直线l：经过点B（0，），∴.∴直线l的解析式为.∵直线l：经过点C（4，n），∴.………………………………………………1分∵抛物线经过点C（4，2）和点B（0，），∴解得∴抛物线的解析式为.…………………………2分（2）∵直线l：与x轴交于点A，图8∴点A的坐标为（，0）.∴OA=.在Rt△OAB中，OB=1，∴AB==.∵DE∥轴，∴∠OBA=∠FED.∵矩形DFEG中，∠DFE=90°，∴∠DFE=∠AOB=90°.∴△OAB∽△FDE

3、.∴.∴，.…………………………………………4分∴=2(FD+FE)=.∵D（，），E（，），且，∴.∴.……………………………5分∵，且，∴当时，有最大值.……………………………………6分（3）点A1的横坐标为或.……………………………………………8分说明：两种情况参看图9和图10，其中O1B1与轴平行，O1A1与轴平行.图9图10B1O1A1lCABOxyyxOBAClA1O1B125.（海淀区）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.(1)求点的坐标（用含的代数式表示）；(2)直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.②若为直线上

4、一动点，求△的面积；②抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点.以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为.25.解：（1），……………………1分∴顶点坐标为.……………………2分（2）①与抛物线交于、两点，∴.解方程，得.……………………4分在点的左侧，∴∴……………………5分直线的解析式为，直线的解析式为，∴∥，两直线、之间距离.∴.………………………6分②最小值为……………………8分25．（顺义区）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．（1）求抛物线的解

5、析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．25．解：（1）将点代入得……………………1分解之得，所以抛物线的解析式为……………………2分（2）由（1）可得抛物线顶点[来源:学*科*网]……………………3分直线的解析式为由是对称轴与直线的交点，则由与关于点对称，则……………………4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以∽所以…………………………………5分证法二：直线的解析式为点关于对称轴的对称点是将点代入可知点在直线所以（3）在中，三内角不等，

6、且为钝角10若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似……………………6分20若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或………………………………………8分25.（平谷区）如图1，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，图1与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD.（1）点C的坐标为（），点D的坐标为（）；（2）若抛物线经过C、D两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线BA向上平移，直至正方形的顶点C落在轴上时，正方形停止运

7、动.在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围.25．解：（1）C（－3，2），D（－1，3）………………………………………………2分（2）抛物线经过（－1，3）、（－3，2），则解得∴……………….…3分（3）①当点D运动到y轴上时，t=.…………..…4分图1当0＜t≤时，如图1设D′A′交y轴于点E.∵tan∠BAO==2,又∵∠BAO=∠EAA′∴tan∠EAA′=2,即=2∵AA′=,∴EA’=.∴S△EA’A=AA′·EA′=t×t=5t

8、2………5分当点B运动到点A时，t=1.………………………………………………6分图2当＜t≤1时，如图2设D′C′交y轴于点G，过G作GH⊥A′B′于H.在Rt△AOB中，AB=∴G