控制系统中的动态量化算法研究

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1、第1章绪论计问题进行了研究，提出了一个弱于稳定性的概念：包含性。在满足一定的条件下，通过对状态观测器的设计，定义了一个平均编码-估计器序列的概念，而这个序列就是一个n-bit序列，可以保证估计误差的收敛性以及系统的包含性（WongandBrocket，1999；WongandBrocket，1995；WongandBrocket，1997）。Brockett和Liberzon讨论了连续时间和离散时间情况下，关于量化状态反馈的稳定性问题（BrocketandLiberzon，2000）。他们提出了一个时变量化器q:R→Z，对

2、于一个n维系统量化器q:Rn→Zn，敏感度为(∆,",)，饱和值1∆nM如下：q(x)=(q1(x),",q(x))。122控制算法分为两个步骤：缩小(zoomout):增加∆直至能足够测量系统状态；放大(zoomin):以同样的方法减少∆使状态收敛到0。对于一个连续时间系统，∆是一个随时间变化的量，定义：∆(t=G(z,tτqxtτ∆tττ。（1.2）)/,((/))(/))G是描述∆随时间变化的函数；z是一个离散的“放大缩小”变量，z=1表示缩小，z=−1表示放大；τ是采样周期。对于一个给定的线性系统，与∆

3、组合就得到一个混合系统：∆(t)=x=G(z,（1.3）Brockett和Liberzon证明对于这样的一个混合系统，存在矩阵K使得A−BK的特征根具有负实部，存在控制算法：∆(t)i=K(tu(t)=（1.4）（其中，∆(t)是第i维状态变量的敏感度，量化器q敏感度为(1,,∆n)∆"，量化i级数M为1）使得闭环系统的解均趋于0。（二）有噪声情况下线性系统的量化反馈研究之前均是在没有噪声干扰的情况下，得到的关于带宽约束时，如何通过量化反馈算法保证系统的稳定性。TatikondaandMitter（2004a）对含有噪声

4、的情况进行了研究。对于这样一个线性时不变系统：Xt+1=AX+BUY=CX∀t≥,（1.5）,,0tttt其中，{t}R,{U}R,{Y}Rt,X∈∈m∈A∈Rd×d，B∈Rd×m,C∈Rl×d。dtt对于上面这样一个线性系统，如果(A,C)可观，(A,B)可镇定，系统满足渐近可观性和渐进稳定性的充分条件是：对于一个有噪声的数字通信信道，在没有4第1章绪论丢包的情况下，系统保持渐近稳定性的充分条件是数据率满足R>∑λTatikondaandMitter（2004b）。在有丢包情况下如果(Amax{0,log(A)}λ)信道

5、的丢包概率(ErasureProbability)记作α，那么系统保持渐进稳定性的充分条件是数据率R满足：R>α∑。（1.6）(1/1−)(Amax{0,logλ(A)}λ)但是这个结果被Matveev和Savkin证明在丢包的情况下，是不正确的（MatveevandSavkin，2005）。他们还进一步证明对于任何的R值，系统状态都确定会发散。LiandBaillieul（2004a）则是从二进制控制(BinaryControl)对带宽受限情况下系统的稳定性进行了分析。他们对于一个线性标量系统，定义了一个控制区域(Con

6、trolRegion)和工作区域(WorkingControl)。对每次得到的在控制区域内的控制量，要能够使状态变量的轨迹都落在工作区域内。在给定控制级数对N（N关于0对称），得到对数据率的最低要求：R2/,log2+1m=LhL=N，（1.7）m其中，h是采样间隔的最低上限。mLi和Baillieul还证明了对于标量系统，在时变带宽约束的情况下，二进制控制是鲁棒性最好的一种控制方法。并且介绍了一种基于二进制控制的综合控制方法，即通过在原有的信道基础上再增加一条副信道(SideChannel,信道的带宽可以是无限小)，

7、来调整二进制控制的幅度。这样对于任何大于最低要求数据率，都能保证系统的渐近稳定性。之后，LiandBaillieul（2004b）还把这一结果推广到多维线性系统。在有限带宽的情况下，通过分配时隙的办法来分配带宽，用二进制控制的方法保证系统鲁棒性。LingandLemmon（2004）通过动态bit分配的方法，研究了含有有界噪声量化线性系统的稳定性。在实际当中，控制系统经常受到有界噪声的影响。在这种情况下，考虑BIBO稳定性比考虑渐近稳定性来得更为实际。（TatikondaandMitter，2004a）和（LingandL

8、emmon，2004）研究了系统BIBO稳定性对于比特率的最低要求。出于保证系统稳定性的目的，（TatikondaandMitter，2004a）和（LingandLemmon，2004）仅仅得到量化误差的界定范围。但是对于量化误差很大的实际系统来说，这种界定是远远不够的，因为尽管有界，但是可能会严重影