数学建模学习入门试题-极其答案~

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1、

2、1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥

3、哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。10cm8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10厘米高的水（如右图），其下端小孔的面积为0.5平方厘米，求这些水流完需要多少时间？9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/

4、100

5、的斜坡，计算这种情下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？1.水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。1．解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿x周方向走，v>0,而设语雨速为（x,y,z）,行走距离为L，则淋雨量Q的表达式为：Q=[Q=

6、x-a

7、+a

8、y

9、+b

10、z

11、]*L/v记q=a

12、x

13、+b

14、z

15、,则L(),v≤xQ(v)=L(+1),v

16、>x在q≥x和qx1q/x10q/xvvxx0dx/dt=-x/10+72.

17、解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x(t)的函数，则它应满足（时间t以周为单位）X(0)=0其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。解该线性方程初始问题得-t/10X(t)=70[1-]由于当t∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f（t）,即t时刻走的距

18、离为f（t）;同样设从B点到A点的路程为函数g（t）。由题意有f(8)=0,f(18)=

19、AB

20、，g（8）=

21、AB

22、，g（18）=0；令h（t）=f（t）--g（t），则有h(8)=f(8)--g（8）=--

23、AB

24、

25、<0,h(6)=f(6)--g(6)=

26、AB

27、>0又注意f（t），g（t）都是时刻t的连续函数，因此h（t）也是时刻t的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使h（t。）=0，即f（t。）=g（t。）所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4.解：设I为平面上任一封闭曲线，p为平面上一点（不妨设p在I内）

28、，则存在已过点p的直线，将I所围的面积二等分，如下图

29、aS1S2lp0设l为过点p的一条直线，若S1=S1，则得证，否则设S1>S2,l与x轴夹角为a，让l逆时针绕p旋转S2，S2，则S1，S2随a的变化连续的变化，记其面积为S1a），S2（a）,则记S1（a）=S1,S2（a）=S2,f(a+∏)<0,且f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，∏）存在ā使f（ā）=0，a=ā对应的直线即为所求。5．解：哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。6．解：设甲乙两

30、人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点，显然0≤x≦60,0≦y≦60，若两人相遇则有

31、x-y

32、≦10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为A={（x，y）

33、≤x≦60,0≦y≦60}它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为

34、yx060601010gaG={（x，y）,

35、x-y

36、≦10}其图形见上图阴影部分，Sa，Sg分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.3067.证明：设第i个人认识的人为s（i），则s（i）∈{0.1.2.3……N-1}设没有两

37、个人认识的人一样多，则s（1），s（2），……互不相等，则s（i）取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值，即至少存在某两个人k1，k2使s（k1）=N-1，s（