南京工程学院通信工程学院数字信号处理第2章

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1、习题1.设和分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：解:(1)(2)(3)(4)(5)或者(6)因此(7)令，则=或者（8）利用（5）题结果，令，则1.已知求的傅里叶反变换x(n)。解：由反变换的定义式可知：1.线形时不变系统的频率响应（频率响应函数），如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入的稳态响应为解：设输入信号，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用这一结论解此题：上式中，幅频函数的偶函数，相位函数的

2、奇函数，即，因此2.设将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出x(n)和的波形如题4解图所示题4解图以4为周期或者以4为周期的傅里叶变换：1.设题5图所示的序列x(n)的DTFT用表示，不直接求出，完成下列运算：解：（1）（2）（3）(4)因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即按照上式可画出的波形如题5解图所示题5解图（5）（6）因为，所以1.试求如下序列的傅里叶变换：解：（1）（2）（3）(4)1.设：（1）x(n)是实偶函数，（2）x(n)是实奇函数，分别分析

3、推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。解:令(1)因为x(n)是实偶函数,对上式两边取共轭,得到因此上式说明x(n)是实序列,具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数，该式说明是实函数，且是的偶函数。总结以上，x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换是实函数，且是的偶函数。（2）x(n)是实奇函数。上面已经推出，由于x(n)是实序列,具有共轭对称性质，即:，由于x(n)是奇函数，上式中该式说明是纯虚数，且是的奇函数。1.设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。解：和的波形如

4、题8解图所示。题8解图所示2.已知，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解：因为的傅里叶变换对应的实部，xo(n)的傅里叶变换对应的虚部乘以j，因此1.若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列h(n)及其傅里叶变换。解：2.若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为求序列h(n)及其傅里叶变换。解：3.设系统的单位脉冲响应，输入序列为完成下面各题：（1）求出系统输出序列y(n)；（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：（1）（2）1.已知，式中f0=100Hz，

5、以采样频率fs=400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：(1)写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)；(2)写出和x(n)的表达式；(3)分别求出和x(n)的傅里叶变换。解：（1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2）（3）式中rad1.求出以下序列的Z变换及收敛域：解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2.求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。式中，N=4。解：（1）由=0，得零点为：=0，得极点为：零极点图和收敛域如题1

6、5解图（a）所示,图中，处的零极点相互对消。（a）(2)零点为：极点为：零极点分布图如题15解图（b）所示。(3)令，则因为因此极点为：零点为：在处的零极点相互对消，收敛域为，零极点分布图如题15解图（c）所示。(c)1.已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解：X(z)有两个极点：因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：。三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域：令但是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有那么(2)收敛域：但0是一个n阶极点，改为求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到（1）收敛域：由收敛域

7、判断，这是一个因果序列，因此；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以。最后得到1.已知，分别求：解：（1）收敛域：但0是一个n阶极点，改为求c外极点留数，c外极点只有2，最后得到（2）收敛域：c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外没有极点，所以。最后得到2.用Z变换法解下列差分方程：解：（1）最后得到（2）最后得到（3）最后得到1.考虑一个具有传递函数的稳定系统。（1）求系统的极零点，并作图表示。（2）证明该系统是全通网络。解:(1)零点：z4=16→即：

8、极点：z4=1/16→即：系统的零极点分布如题19解图所示。（1）根据全通系统的零极点特性：所有零点都是其极点的共轭倒数来证明：从（1）的结果可知：零点与极点互为共