南京工程学院通信工程学院数字信号处理第4章

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1、5第4章快速傅里叶变换（FFT）1．如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘需要50µs，每次复数加需要5µs。用它来计算N＝512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解:（1）当N＝512=时,直接计算DFT的复数乘法运算次数为:=512512=262144次复数加法运算次数为:=261632次直接计算DFT所用计算时间为：=50262144+5261632=14.41536s用FFT算512点DFT所用计算时间为：（2）快速卷积时，需要计算一次N点FFT（考虑到=DFT

2、[h(n)]已经计算好存入内存）、N次复数乘法和一次N点IFFT。所以计算512点快速卷积的计算时间约为:=2+512次复数乘法计算时间=153.6ms+50512s=179.2ms所以每秒钟处理的采样点数（即采样速率）次/秒由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为Hz=1.428kHz应当说明，实际实现时，还要小些。这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。2．如果将通用计算机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列，则计算复数乘仅需要400ns左右，计算复数

3、加需要100ns。请重复做上题。解：与第1题同理。直接计算DFT的复数乘法运算次数为:=512512=262144次复数加法运算次数为:=261632次直接计算DFT所用计算时间为：=400262144+100261632=0.1310208s用FFT算512点DFT所用计算时间为：5第4章快速傅里叶变换（FFT）快速卷积时，计算时间约为:=2+512次复数乘法计算时间=1.536ms+400512s=1.7408ms所以每秒钟处理的采样点数（即采样速率）次/秒由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为Hz=0.14706MHz和第1题和的结果比较克可看出，用DSP专用单片机壳大大

4、提高信号处理速度。3．已知和是两个点实序列和的DFT，若要从和求和，为提高运算效率，试设计用一次点IFFT来完成。解：因为和均为实序列，故和为共轭对称序列，为共轭反对称序列。令和分别作为复序列的共轭对称分量和共轭反对称分量，即计算一次N点IFFT得到由DFT的共轭对称性可知因此4．设是长度为的有限长实序列，为的点DFT。（1）试设计用一次点FFT完成计算的高效算法。（2）若已知，试设计用一次点IFFT实现求的点IDFT运算。解：（1）在时域分别取偶数和奇数点，得到两个N点实序列和：只要求出和的N点DFT，经过简单的一级蝶形运算可得到的2N点DFT。由于和均为实序列，因此根据DFT

5、的共轭对称性。可用一次N5第4章快速傅里叶变换（FFT）点FFT求出和。令则2N点可由和得到：通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT，当然还要进行由求出、和的运算。（2）假设应满足关系式由此可以解得：由和构成N点频域序列：其中，进行N点IFFT，得到由DFT的共轭对称性可知5第4章快速傅里叶变换（FFT）由和合成：在编程序实现时，只要将存放和的两个数组的元素分别依次放入存放的数组的偶数和奇数数组元素中即可。5．设是长度为的序列，且　其中Ｎ是偶数。（1）证明的点DFT仅有奇次谐波，即，为偶数。（2）证明如何由一个经过适当调整的序列的点DFT求得的点DFT。解：（1）由于：

6、因此：时，X(k)=0,的点DFT仅有奇次谐波。（2）设，显然,=0,将，带入下式，得各奇次谐波为：5第4章快速傅里叶变换（FFT）由此求得的点DFT。6．时，画出基2按时间抽取法及按频率抽取法的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序、输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然数顺序、输出倒位序）。解：参照教材中的8点基2DIT—FFT和DIT—FFT运算流图很容易画出16点基2DIT—FFT和DIF—FFT运算流图。由于画图占篇幅较大，故此省略解答，请读者自行完成。7．（1）下图是按时间还是按频率抽取的FFT？（2）把下图中未完成的系数和线条补充完整。图4.17习题7图示解：（1）在蝶形

7、单元中，是先加减后乘W系数的，所以该图是按频率抽取的。（2）将图中未完成的系数和线条补充完整后，见题7解图所示。题7解图