函授本科数学专业(参考答案)

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1、专业名称数学年级、班级2010级学号姓名函授本科数学专业《泛函分析》考试试题A卷（120分钟）题号一二三四五合分题分2020202020得分复查人得分评卷人一、单项选择题（3分×5=15分）1、下列各式正确的是（C）（A）;（B）;（C）;（D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）（A）c(B)(C)(D)3、下列说法不正确的是（B）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是(A)（A）若,则(B)是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可

2、测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（D）(A)在上有界(B)在上几乎处处存在导数（C）在上L可积(D)（第6页，共6页）得分评卷人二.填空题(3分×5=15分)1、(φ)2、设是上有理点全体，则=（[0，1]）,=（φ）,=（[0，1]）.3、设是中点集，如果对任一点集都有（），则称是可测的。4、可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使（成一有界数集。）,则称为上的有界变差函数。得分评卷人三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明

3、.(5分×4=20分)1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。错误……………………………………………………2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密………………………..5分2、若，则一定是可数集.错误…………………………………………………………2分例如：设是集，则，但c，故其为不可数集……………………….5分3、若是可测函数，则必是可测函数。错误…………………………………………………………2分（第6页，共6页）例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数………………………………………………………………..5分4．设在可测集上可积分，若，则错误…………

4、………………………………………………2分…5分四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分因为是有界可测函数，在上是可积的…6分因为与相等，进一步，…8分考生答题不得超过此线2、（8分）求解：设，则易知当时，…………………………..2分又因，()，所以当时，（第6页，共6页）………………4分从而使得…………………………………6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有…………………………………8分五、证明题（6分×4+1

5、0=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.证明：设…………………………2分……………………………….3分…………..5分………………………………………………6分2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。证明：……….2分………………………………………….3分（第6页，共6页）…………………………………………………………5分…………………………………………………….6分考生答题不得超过此线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。证明：对，，使对任意互不相交的有限个当时，有………………2分将等分，使，对，有，所以在上

6、是有界变差函数……………………………….5分所以从而，因此，是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分（第6页，共6页）4、（6分）设在上可积，，则.证明：在上可积……2分据积分的绝对连续性，，有………………………………………………….4分对上述，从而，即…………………6分得分阅卷人复查人5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)证明：存在闭集在连续………………………………………………………………2分令，则在连续…………………………………………………………4分又对任意,

7、…………………………………………….6分故在连续…………………………..8分又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数………………………………………………………..10分（第6页，共6页）